EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 2 2013.01 PPGEE-UFPE
2.1.1
Cálculo pela expressão integral
Considera esfera de raio a, uniformemente carregada
· Densidade de carga
· Carga total Q
· Define eixo z
· Calcula campo por superposição nesse eixo
· Generaliza para qualquer direção.
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Campo:
Parâmetros:
donde,
O versor radial é variável, i.e.,
Além
disso
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Após integração na variável azimutal vem
Para integração em ':
donde,
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Resolvendo-se a integral na variável u, resulta em
O termo entre colchetes é da forma:
Caso 1: z > a ³ R’
Caso 2: z < a
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Para direção arbitrária
Equivalentemente
= carga total envolvida por uma esfera imaginária de raio R, i.e.,
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
2.1.2
Cálculo pela lei de Gauss
Por
simetria
Define
superfície gaussiana na qual
(superfície
esférica)
Caso
1:
,
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Caso
2:
:
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Divergente, Rotacional: Especificam um
vetor
Obtém o rotacional do vetor , da expressão geral:
Usando, , com , , vem:
O campo eletrostático é
Conservativo
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Potencial eletrostático
,
Significado de : Trabalho realizado por agente externo para deslocar uma carga ( movimento quase-estático), em uma região de campo.
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Percurso fechado (este resultado segue também da condição, )
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Wi = Energia para por qi próxima ao conjunto de N-1 cargas
Energia total para formar o conjunto de N cargas:
Para cargas distribuídas:
(Obtém expressão para energia sob o ponto de vista das fontes do campo)
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Alternativamente, a energia pode ser expressa sob o ponto de vista do campo, como mostrado a seguir. Usando a Eq. de Poisson, i.e., , vem:
Usando a 1a Identidade de Green, tomando-se o volume limitado por uma superfície no infinito, tem-se que, o campo de distribuições localizadas, fornece
resultando,
donde,
, é a densidade de energia que pode ser visualizada como sendo distribuída em todo o espaço.
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
2.1.3
Condições de Contorno
Utiliza lei de Gauss
No limite em que Dh 0
Dado que
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana
Obtém
Dado que
Integra
Usa relação integral
No limite
Ou equivalentemente
Copyrigth 1999-2013
by Eduardo Fontana