EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 5 - 2013.01 PPGEE-UFPE

5.1 Função de Green para o plano

A função de Green pode ser obtida da solução do PVF de uma carga puntiforme na região , conforme ilustrado na figura

Dado que

a função de Green para o PVF de Dirichlet acima do plano, satisfaz à condição de contorno mostrada na figura, e portanto

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Para o PVF de Dirichlet é necessário obter a derivada normal na superfície z=0, em relação à coordenada para fora da região . Utilizando a solução formal para o PVF de Dirichlet,

Assim, dada a solução formal para o PVF de Dirichlet,

a solução para o potencial na região é

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Considere, por exemplo, o PVF satisfazendo à condição de contorno . A solução é portanto

Conforme ilustrado na figura, essa solução representa a soma do potencial da distribuição de carga, e de sua distribuição imagem, formada como a própria imagem especular do volume de carga acima do plano.

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5.2 Carga na vizinhança de uma esfera condutora

Considere o problema de uma carga q vizinha a uma esfera condutora aterrada, conforme ilustrado na figura

Intuitivamente, pode-se tentar utilizar uma carga imagem, posicionada conforme mostrado na figura, e cujos parâmetros (q´,c) devem ser deteminados. O potencial no exterior da esfera é dado por

Impondo a condição de contorno em R=a, tem-se

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Essa equação só pode ser satisfeita se

Manipulando a expressão anterior, vem

ou equivalentemente

que tem como solução

Observações:

· O raio da esfera é média geométrica das distâncias

· Se a carga se afasta muito da esfera, a carga imagem se desloca para o centro e seu valor tende a zero

· Se a carga se aproxima da superfície da esfera, o mesmo acontece com a carga imagem e sua magnitude se aproxima daquela da carga exterior

· Pela lei de Gauss, é fácil mostrar que a carga total induzida na esfera aterrada é

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· Para o problema interior, a carga imagem e sua coordenada estão relacionadas aos parâmetros da carga original, através das mesmas relações anteriores.

Podem-se mostrar os seguintes resultados:

Esfera submetida a um potencial V

O potencial é a superposição da solução anterior com a solução da equação de Laplace para a esfera submetida a um potencial V, ou seja,

Esfera isolada e carregada com carga Q

O problema é resolvido como a superposição de duas soluções:

· Solução para o potencial de uma esfera aterrada com carga q em sua vizinhança, que resulta em uma carga q´ distribuída não-uniformemente, de acordo com a solução já encontrada

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· Solução para o potencial de uma esfera isolada com carga , distribuída uniformemente na superfície da esfera.

A solução é portanto

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