EE982
-ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 12 2013.01 PPGEE-UFPE
Uma função que surge
freqüentemente em expressões de campo é a função inversa.
Ex1. Potencial de uma distribuição de cargas
Ex.2. Função de Green
com , etc.
A função inversa pode ser expandida em diferentes funções de base. Considera por exemplo a expansão em polinômios de Legendre. Com base na figura seguinte
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Para:
ou equivalentemente,
obtém
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Portanto, se
Note-se que:
· A função só depende de
· A expressão obtida para pode ser generalizada cf Aula 11, incluindo em cada termo da série o polinômio de Legendre no índice correspondente, ou seja, para quaisquer:
que representa, assim, a expansão da função inversa em polinômios de Legendre.
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Exemplo: Potencial da espira carregada.
Para a determinação da função potencial da espira de carga uniformemente distribuída mostrada na figura
No eixo z:
Usa expansão da função inversa, obtém:
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com representando o menor(maior) entre z e c. Esse é o resultado no eixo z. Conforme aula anterior, o resultado é generalizado fazendo-se:
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Exemplo: Se a espira está no plano z=0:
,
obtém
Da aula anterior:
ou ainda,
logo, no plano z = 0, tem-se:
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Considera agora a situação em que que fornece a equação de Legendre generalizada na porção angular da função potencial.
Características da solução:
i) l é inteiro
ii)
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m > 0.
Utilizando a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre
vem
Alguns polinômios associados de Legendre (para m>0):
Expressões explícitas desses polinômios até a quarta ordem, além de outras informações, podem ser encontradas em
http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
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1. Ortogonalidade no domínio
2. Expansão de funções no domínio
3. Completeza
Da Propriedade 2
4. Polinômios associados para m < 0
Equação generalizada depende de e portanto . Para m < 0 tem-se
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Notando que
Define o harmônico esférico no par de índices (l,m) por:
Com essa definição
Ou equivalentemente, com o produto escalar definido no domínio , ou seja,
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Harmônicos esféricos formam um conjunto completo no domínio de variação das variáveis angulares, ou seja:
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Dado que
Por outro lado
donde
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1.
2. Dado que
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tem-se
e portanto
A solução geral da equação de Laplace para é portanto
Propriedades adicionais dos harmônicos esféricos podem ser encontradas em
http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
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