EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 12 2013.01 PPGEE-UFPE

12.1 EXPANSÃO DA FUNÇÃO INVERSA

Uma função que surge freqüentemente em expressões de campo é a função inversa.

Ex1. Potencial de uma distribuição de cargas

                               

Ex.2. Função de Green

 

                      

com , etc.

A função inversa pode ser expandida em diferentes funções de base. Considera por exemplo a expansão em polinômios de Legendre.  Com base na figura seguinte

                                

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Para:

 

                                 

Note-se que

 

                   

ou equivalentemente,

 

                            

 

Com base na expansão de Taylor, válida para

 

 

                                 

obtém

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Portanto, se

 

                               

 

Note-se que:

 

·       A função  só depende de

·       A expressão obtida para  pode ser generalizada cf Aula 11, incluindo em cada termo da série o polinômio de Legendre no índice correspondente, ou seja, para  quaisquer:

 

                       

 que representa, assim, a expansão da função inversa em polinômios de Legendre.

 

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Exemplo: Potencial da espira carregada. 

 

Para a determinação da função potencial da espira de carga uniformemente distribuída mostrada na figura

 

             

 

No eixo z:

 

                       

 

Usa expansão da função inversa, obtém:

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com  representando o menor(maior) entre z e c.  Esse é o resultado no eixo z.  Conforme aula anterior, o resultado é generalizado fazendo-se:

 

i)

ii) Cada termo  ou é multiplicado por

 

Portanto, para  qualquer, tem-se

 

             

 

e portanto:

 

       

 

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Exemplo: Se a espira está no plano z=0:

 

                                     *, 

 

obtém

 

          

 

Da aula anterior:

 

                   

ou ainda,

 

            

 

logo,  no plano z = 0, tem-se:

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12.2 POLINÔMIOS ASSOCIADOS DE LEGENDRE

 

Considera agora a situação em que  que fornece a equação de Legendre generalizada na porção angular da função potencial.

 

              

 

Características da solução:

 

i)                 l é inteiro

ii)             

 

A solução obtida é o polinômio associado de Legendre, dado por

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m > 0.       

 

Utilizando a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre

                            

vem

 

             

 

Alguns polinômios associados de Legendre (para m>0):

 

                                         

 

                              

 

                     

 

Expressões explícitas desses polinômios até a quarta ordem,  além de outras informações, podem ser encontradas em

 

        http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

 

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Propriedades

 

1. Ortogonalidade no domínio

 

                        

 

2. Expansão de funções no domínio

                               

       

3. Completeza

 

Da Propriedade 2

            

4. Polinômios associados para m < 0

Equação generalizada depende de  e portanto .  Para m < 0 tem-se

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12.2 HARMÔNICOS ESFÉRICOS

 

Notando que

 

              

 

                             

 

Define o harmônico esférico no par de índices (l,m) por:

 

                 

 

Com essa definição

Ou equivalentemente, com o produto escalar definido no domínio , ou seja,

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então

 

                               

 

Expansão de funções

Harmônicos esféricos formam um conjunto completo no domínio de variação das variáveis angulares, ou seja:

 

                      

 

 

 

 

Completeza

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Simetria dos harmônicos esféricos

 

Dado que

 

                 

                                             

 

             

Por outro lado

 

                       

donde

 

       

                                             

                        

 

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Alguns harmônicos esféricos

 

                                

 

                       

 

                 

Observações

 

1.                            

 

2.     Dado que

                 

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tem-se

e portanto

 

                          

 

                     

 

A solução geral da equação de Laplace para  é portanto

 

       

Propriedades adicionais dos harmônicos esféricos podem ser encontradas em

        http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html

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