EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 13 2013.01 PPGEE-UFPE

13.1 Teorema da Adição para Harmônicos Esféricos

O teorema da adição para harmônicos esféricos representa uma importante expansão da função inversa. Pode ser sintetizado pela expressão

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Demonstração:

Dado que

e que alternativamente, uma expansão em harmônicos esféricos pode ser realizada, admitindo fixo o vetor tem-se

Nessa expressão, cada coeficiente depende das variáveis angulares associadas ao vetor .

A igualdade das duas expressões e ortogonalidade dos harmônicos esféricos fornece

Utilizando a propriedade de ortogonalidade dos harmônicos esféricos, tem-se

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Note-se que a integral acima pode ser realizada em termos das variáveis angulares relativas mostradas na figura

Fazendo-se a mudança de variáveis,

e com essa mudança de variáveis

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

A função correspondendo ao harmônico esférico de ordem l pode ser decomposta na forma

onde

Note que:

Uma vez que

obtém

ou ainda, dado que , vem

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Utilizando

vem

Para obter o resultado final resta determinar o primeiro membro da expressão anterior. Note-se que a expansão da função para é

Dado que

vem

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

portanto,

ou ainda

Note-se que para , , , e portanto

e finalmente utilizando

vem

ou equivalentemente

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

13.2 Solução geral da Equação de Laplace em Cilíndricas

Em coordenadas cilíndricas

Assumindo

obtém

Conforme argumentado anteriormente, o resultado acima só pode ocorrer se

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Seja a escolha da constante de separação

obtém

Solução geral

O restante da eq. diferencial se torna

Obtém-se portanto duas equações diferenciais

(I)

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

ou equivalentemente

(II)

A solução de (I) é da forma

e para problemas envolvendo toda a variação azimutal

Para a equação (II), seja

o que fornece

ou alternativamente

(III)

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Para resolver (III), seja

Inserindo em (III) vem

Para que o primeiro membro seja nulo é necessário que

(i)

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

(ii)

(iii)

De (i):

De (ii):

Assim, se (i) for satisfeita, (ii) não pode ser satisfeita, e vice-versa, logo,

Ambas as situações fornecem séries equivalentes como solução, i.e.:

Seja portanto a escolha e inicialmente consideremos o caso . Tem-se

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Seja

Obtém

Obtém-se portanto

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Para , note-se que

e portanto

A expressão geral para qualquer pode ser escrita em termos da função , definida por

i) Para argumento inteiro:

ii) Para argumento arbitrário:

Com essas propriedades, tem-se

o que fornece

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

A solução pode ser escrita na forma

Geralmente escolhe-se

e a série gerada é a função de Bessel do primeiro tipo de ordem

Para (inteiro), essa expressão reduz-se para

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

A segunda solução, para não inteiro, é obtida fazendo-se na expressão anterior, resultando em

Essa solução é linearmente independente da primeira para não inteiro. Se a relação de recorrência (iii) é escrita na forma

Essa relação mostra que para

Ou seja, todos os termos da série até são nulos e a série começa no termo . Portanto, a solução normalizada se torna

Na expressão acima, fazendo com vem

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

ou ainda

que fornece

E portanto, para valores inteiros, as duas soluções não são independentes.

Para contornar essa dificuldade, define-se a função de Neumann, também denominada de função de Bessel do segundo tipo

Para real esta função é independente da função de Bessel. Pode-se mostrar que no limite

a função de Neumann também é independente da função de Bessel. Nas figuras seguintes estão ilustrados gráficos das funções de Bessel e de Neumann

(obtidos de http://mathworld.wolfram.com)

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Observações:

i. As funções de Bessel do primeiro tipo não divergem, e as de segundo tipo divergem na origem

ii. Ambas as funções exibem comportamento oscilatório, e têm número infinito de raízes

iii. Em Mathcad, utiliza-se a sintaxe

Função de Bessel do primeiro tipo, ordem zero:

Função de Bessel do primeiro tipo, ordem um:

Função de Bessel do primeiro tipo, ordem n:

Função de Bessel do segundo tipo, ordem zero:

Função de Bessel do segundo tipo, ordem um:

Função de Bessel do segundo tipo, ordem n:

iv. As raízes das funções de Bessel podem ser obtidas numericamente. Alguns valores estão listados na tabela seguinte

	k-ésima raiz de
	k=1	k=2	k=3
m=0	2,405	5,520	8,654
m=1	0	3,832	7,016
m=2	0	5,136	8,417
m=3	0	6,380	9,761

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

	k-ésima raiz de
	k=1	k=2	k=3
m=0	0,894	3,958	7,086
m=1	2,197	5,430	8,596

Propriedades (:)

1.
2.
3.
4.

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Funções de Hankel (Funções de Bessel do terceiro tipo.

Primeiro tipo:

Segundo tipo:

Definições em analogia com as definições de exponenciais complexas

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana