EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 14 2013.01 PPGEE-UFPE

14.1 ORTOGONALIDADE DAS FUNÇÕES DE BESSEL

Seja a n-ésima raiz de , i.e.,

Constrói-se o conjunto de funções

com a propriedade,

Note-se que

Define o produto escalar, para funções reais, no espaço da variável radial, no domínio , na forma

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Pode-se mostrar que

ou seja, as funções são ortogonais no domínio . Assim, uma função arbitrária pode ser decomposta na forma

Note-se que cada índice m fornece um conjunto específico de coeficientes de expansão, obtidos da condição de ortogonalidade. Com o emprego dessa condição, aplicando o produto escalar em ambos os membros da expressão anterior, obtém-se

o que fornece

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Em resumo, em coordenadas cilíndricas, foi gerada uma classe de soluções para a equação de Laplace da forma

com

com os parâmetros a serem determinados para o PVF específico.

14.2 FUNÇÕES DE BESSEL MODIFICADAS

Na equação diferencial original, posta na forma

se a constante de separação fosse modificada de acordo com

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Obteríamos

com solução geral do tipo

Uma vez que a dependência em independe dessa constante de separação, a solução geral nessa variável permanece na forma

A solução da equação radial pode ser obtida fazendo-se a modificação

ou equivalentemente

e a solução geral da equação radial seria da forma

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Para evitar o manuseio de funções complexas em problemas em que as soluções obtidas são funções puramente reais, definem-se:

Função modificada de Bessel de 1^a. espécie:

Função modificada de Bessel de 2^a. espécie:

As figuras seguintes mostram as curvas correspondentes (obtidas de http://mathworld.wolfram.com)

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Funções modificadas de Bessel de 1^a. espécie

Funções modificadas de Bessel de 2^a. espécie

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Assim, a solução da equação radial pode ser posta na forma

Em resumo, foram obtidos dois tipos de solução geral:

Tipo I:

Tipo II:

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Exemplo 1: Solução tipo I para o potencial na região interior ao cilindro de altura finita.

Considera o PVF mostrado na figura. Utilizando a solução geral tipo I,

Considerações:

1. Notando que toda a variação azimutal é permitida, tem-se

e portanto

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2. Uma vez que a solução é finita no eixo z, deve-se ter e a solução pode ser condensada na forma

3. Como o potencial é nulo em deve-se ter , e a solução é reduzida para

4. Aplicando a condição de contorno na superfície lateral do cilindro, i.e.,

resulta em

e portanto

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e obtém-se um conjunto infinito de soluções satisfazendo às condições de contorno na tampa inferior e superfície lateral, com forma geral

5. A condição de contorno em

pode ser satisfeita para a solução soma,

Impondo-se a condição de contorno em tem-se

com

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Essas funções obedecem às relações de ortogonalidade

Definindo-se o produto escalar no domínio bi-dimensional ,

e as funções

têm-se as relações de ortogonalidade

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E portanto, os coeficientes da expansão podem ser calculados de

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Exemplo 2: Solução tipo II para o potencial na região interior ao cilindro de altura finita.

Considera o PVF mostrado na figura. A solução geral tipo I, não satisfaz às condições de contorno para esse problema. Seja a solução tipo II

Considerações:

1. Notando que toda a variação azimutal é permitida, tem-se

e portanto

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2. Uma vez que a solução é finita no eixo z, deve-se ter e a solução pode ser condensada na forma

3. Como o potencial é nulo em deve-se ter , e a solução é reduzida para

4. Aplicando a condição de contorno em

resulta em

e portanto

(note-se que é excluído pois gera como solução a solução trivial)

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Obtém-se um conjunto infinito de soluções satisfazendo às condições de contorno nas tampas superior e inferior

5. A condição de contorno em

pode ser satisfeita para a solução soma,

Impondo-se a condição de contorno em tem-se

Definindo-se o produto escalar no domínio bi-dimensional ,

e as funções

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têm-se as relações de ortogonalidade

E portanto, os coeficientes da expansão podem ser calculados de

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