ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 15 2013.1 PPGEE-UFPE

TRANSFORMADA DE BESSEL-FOURIER

Objetivo:

Obter solução para o potencial na região , dado

Para resolver esse problema, considera inicialmente a solução na região limitada por um cilíndro de raio finito no semi- espaço , com condições de fronteira especificadas conforme na figura seguinte

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

faz parte da região de interesse:

Solução para a finito é

,

Obtém coeficientes da condição de fronteira em z = 0:

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Usa ortogonalidade das funções senoidais, obtém:

Pode se mostrar que as funções de Bessel satisfazem a relação de ortogonalidade ( Morse & Feshbach):

Usa relação de ortogonalidade, obtém:

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EXPANSÃO DE FUNÇÕES DE GREEN EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Considera a solução da Eq. de Laplace para o problema exterior à esfera de raio a.

A função de Green foi obtida pelo método das imagens:

Usa teorema da adição:

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Portanto, a expansão da função de Green em harmônicos esféricos é dada por:

O fator radial é dado por:

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Observações:

FUNÇÃO DE GREEN NA REGIÃO ENTRE DUAS SUPERFÍCIES ESFÉRICAS CONCÊNTRICAS

Para obter a função de Green:

Uma esfera usa método das imagens

Duas esferas resolve a equação diferencial para G

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Em coordenadas esféricas:

Expande a parte angular em harmônicos esféricos,

Expande G:

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Os harmônicos esféricos satisfazem a equação:

Para a igualdade ser satisfeita :

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Solução da equação diferencial:

Condições de fronteira:

:

:

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Substitui em (i) e (ii), obtém:

Usa a propriedade de simetria: ,

Ambos os membros são constantes pois dependem de variáveis distintas. Portanto:

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A descontinuidade na derivada da função radial em torno de R=R', é obtida integrando a equação diferencial, i.e.:

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A função de Green resultante é da forma:

EXEMPLO: SOLUÇÃO DA EQ. DE LAPLACE NO INTERIOR DA ESFERA DE RAIO b.

Com =0:

Sobre a esfera:

Com a = 0,

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SOLUÇÃO DE PROBLEMAS CONTENDO DISTRIBUIÇÕES DE CARGA

Dado que , a solução para o potencial é:

O anel está localizado em , e a densidade de carga pode ser representada por:

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Obtém A da condição:

Insere na equação integral para , obtém:

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Dado que

,

vem:

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