ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 22 2013.1 PPGEE-UFPE
Considera
distribuição localizada de corrente e
o efeito magnético por ela produzido
No
regime de corrente estacionária:
e na
interface entre meios distintos 1 e 2,
Na
superfície de contato entre a distribuição
localizada e o espaço vazio exterior tem-se
Potencial
vetor
Define
esfera de confinamento da distribuição
com raio , tal que . Para pode fazer a expansão
Seja
,
,
então
,
,
e
portanto, até primeira ordem
Inserindo
esse resultado na expressão integral
obtém
ou equivalentemente
A
í-ésima componente do potencial vetor é dada
por
ou, alternativamente
As
dependências com a distância permitem
identificar:
Termo
de
monopolo magnético
Termo
de
dipolo magnético
Análise
dos termos:
Considera
as identidades:
e dessas duas
Seja (notando
que ) tem-se
O
resultado acima é válido .
1.
Considera o caso . Tem-se:
e a
última identidade fornece
Usa o teorema de Gauss
Portanto
e o
termo de monopolo é nulo,
como esperado.
2.
Para a análise do termpo de dipolo, note-se
que
,
com com a notação em que
índices repetidos
indicam soma, ou seja,
Considerando
a identidade vetorial com , tem-se
ou ainda
Aplica
o teorema de Gauss na integral de volume
Com o
emprego da identidade anterior, tem-se
ou equivalentemente
Portanto
donde
ou
ainda, somando as componentes, tem-se
Para o
segundo membro, considera a identidade
ou equivalentemente,
Utilizando
a última relação dada por
resulta em
Donde
O
potencial vetor
é
portanto
Define-se
o momento de dipolo da distribuição
de corrente pela relação
A
densidade de dipolos pode ser obtida pela
integração de volume do vetor magnetização,
de
forma mais geral, o vetor magnetização de
uma distribuição de corrente momento de dipolo da distribuição
de corrente pela
relação
Com
essas definições, a contribuição de mais
baixa ordem de uma distribuição de corrente localizada
corresponde ao potencial
vetor do dipolo magnético
Para
determinar o campo B da distribuição
localizada, define um sistema de coordenadas com o eixo z
alinhado com a
direção do vetor momento de dipolo. Tem-se
Utilizando
a identidade vetorial
com e vem
Notando que
tem-se
Uma
vez que , tem-se
ou ainda
que é
equivalente a
Notando que
vem
logo
que é
idêntico ao campo elétrico do dipolo
elétrico no regime assintótico.
Considera
sistema de N partículas
conforme figura
A
densidade de corrente é dada por
Dado que para partículas discretas
tem-se
O
momento de dipolo magnético do sistema é
Considerando
que a i-ésima partícula tenha
massa , tem-se
Dado
que o momento linear de cada partícula é
tem-se
O
momento angular de cada particula é dado por
e portanto
Para
partículas idênticas, por exemplo,
com
representando
o momento angular do sistema como
um todo. A relação é a conexão clássica
entre momento de dipolo
elétrico e momento angular.
Essa
relação é válida para sistemas de partículas a nível atômico e
molecular. No
entanto, essa relação não funciona para o
caso de partículas elementares como o elétron,
por exemplo. Isso decorre de efeitos relativísticos e
quânticos, não
previstos na teoria clássica.
Para o elétron, por exemplo,
com sendo o momento
angular (spin) do eletron e
com o fator g sendo aproximadamente .
Considera
uma distribuição localizada em uma
região de campo. Admite que as dimensões da distribuição são
pequenas em
relação à escala de variação do campo,
conforme ilustrado na figura.
Sobre
a distribuição, o campo pode ser
expandido na forma
Ou
seja, os termos de ordem zero e um da
expansão do campo são calculados na origem, ou no centro da
distribuição, i.e.,
. Utilizando a
notação compacta, em que
índices repetidos representam soma, a
força magnética é dada por
e a
força total é dada por
Na
aproximação de primeira ordem, tem-se
ou
equivalentemente, notando que os vetores são constantes,
ou
equivalentemente
Como mostrado anteriormente
e portanto
Para
essa última expressão, considera a
identidade vetorial
Com e o
segundo
vetor representando o campo B, tem-se
Uma
vez que não atua sobre , tem-se
Note-se
também que as fontes do camo B são
fontes distantes, e portanto
Assim
e a
força se torna
Seja
agora a identidade vetorial
com e vem
O
segundo termo do segundo membro é nulo, uma
vez que o vetor J não depende do vetor X.
Portanto
ou equivalentemente
Como mostrado anteriormente
Fazendo
portanto ,
obtém-se
e
portanto
Equivalentemente,
utilizando as identidades
vetoriais
com , obtém
Dado
que independe
das
coordenadas, e
sobre a distriuição de corrente , tem-se
e portanto
e a
força pode ser posta na forma
O que
permite identificar a energia de
acoplamento entre campo dipolo. Uma vez que da relação clássica entre
força mecânica e energia
potencial, i.e.,
tem-se
a energia potencial magnética dada por
Observe
que a tendência de um dipolo é
alinhar-se com o campo, de forma a minimizar a energia de
acoplamento.
O
torque do campo sobre a distribuição é obtido
de
Como
visto anteriormente
Portanto
Para a
segunda integral note-se que
Portanto
e o
torque sobre a distribuição é simplesmente