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1ª parte:
13/03 – Apresentação do curso. Medidas invariantes. (seção 1.1)
14/03 – Teorema de recorrência de Poincaré: versão métrica e versão topológica. (seção 1.2)
15/03 – Exemplos de transformações que preservam medida: expansão decimal e transformação de Gauss. (seção 1.3)
20/03 – Exemplos de transformações que preservam medida: rotações no círculo e translação no toro, transformações conservativas. (seção 1.3)
21/03 – Existência de medidas invariantes. Topologia fraca*. (seções 2.1 e 2.2)
22/03 – Definições equivalentes da topologia fraca*. Compacidade do espaço de probabilidade em um espaço métrico compacto. Teorema de existência de medidas invariantes. (seções 2.1 e 2.2)
27/03 – O operador de Koopman e o teorema ergódico de Von Neumann. (seções 2.3 e 3.1)
28/03 – Resolução de um exercício da lista. Teorema de Kac.
03/04 – Teorema ergódico de Birkhoff (demonstração seguindo P. Walters).
04/04 – Invariância da média temporal e do tempo médio de visita. Ergodicidade. (seções 3.2, 4.1)
05/04 – Definições equilaventes de ergodicidade. (seção 4.1)
10/04 – Exemplos de sistemas ergódicos: rotações no círculo e translações no toro (usando a expansão em séries de Fourier). (seção 4.2.1)
11/04 – Exemplos de sistemas ergódicos: expansão decimal e endomorfismos lineares do toro (usando a expansão em séries de Fourier). Aplicação à teoria dos números. (seção 4.2.4)
12/04 – Exemplos de sistemas ergódicos: expansão decimal (usando pontos de densidade de Lebesgue). (seção 4.2.2)
17/04 – Deslocamentos de Bernoulli. Propriedades das medidas ergódicas. (seções 4.2.3 e 4.3)
18/04 – Propriedades das medidas ergódicas. Teorema da decomposição ergódica (enunciado). (seções 4.3 e 5.1)
19/04 – Demonstração do Teorema da decomposição ergódica. Desintegração de medidas e Teorema da desintegração de Rokhlin (enunciado). (seção 5.1)
24/04 – Unicidade ergódica. Exemplo de transformação unicamente ergódica: translação no toro. (seções 6.1 e 6.3)
25/04 – Minimalidade. Exemplo de transformação unicamente ergódica: odômetros (adding machine). (seções 6.2 e 6.3)
26/04 – Teorema de Weyl. (seção 6.4)
02/05 – Aula para tirar dúvidas.
03/05 – 1ª prova
2ª parte:
08/05 – Correlações. Sistemas misturadores. Mistura fraca. (seção 7.1)
09/05 – Caracterização espectral de sistemas misturadores. Exemplo: endomorfismos lineares do toro misturadores. (seção 7.1)
10/05 – Deslocamentos de Markov: medida de Markov, teorema de Perron-Frobenius. (seção 7.2)
15/05 – Deslocamentos de Markov: ergodicidade (e irredutibilidade) e mistura (e aperiodicidade). (seção 7.2)
16/05 – Conceitos de equivalência: Equivalência ergódica e equivalência espectral. (seções 8.1 e 8.2)
17/05 – Entropia métrica de uma partição e de um sistema dinâmico. (seção 9.1)
22/05 – Entropia métrica: sequências sub-aditivas, partições geradoras. (seção 9.1)
23/05 – Teorema de Kolmogorov-Sinai. Entropia de: deslocamentos de Bernoulli, expansão decimal. (seção 9.2)
24, 29 e 30/05 – Não houve aula (greve dos caminhoneiros).
05/05 – Resolução do exercício 9.1.3 da lista. Partições geradoras. Transformações expansivas. (seção 9.2)
06/05 – Entropia de homeomorfismos do círculo é zero. (seção 9.2). Entropia de: deslocamentos de Markov. (seção 9.4). Comentários sobre entropia local, enunciado dos teoremas de Shanon-McMillan-Breiman, de Brin-Katok (seção 9.3).
07/05 – Entropia de: endomorfismos lineares do toro (seção 9.4). Entropia como invariante, enunciado do Teorema de Parry-Walters (seção 9.5). Enunciado do Teorema de Jacobs para decomposição ergódica (seção 9.6). Enunciado da fórmular de Rokhlin (seção 9.7)
12/06 – Entropia topológica. Definições via coberturas abertas, conjuntos geradores e conjuntos separados. (seção 10.1)
13/06 – Propriedades de entropia topológica. Entropia topológica de: homeomorfismos do círculo, deslocamento de tipo finito. (seção 10.2)
14/06 – Entopia topológica de transformações expansivas e de endomorfismos lineares do toro. (seção 10.2). Pressão: definições via coberturas abertas, conjuntos geradores e conjuntos separados; propriedades da pressão; princípio variacional para pressão (enunciados). Estados de equilíbrio. (seção 10.3).
19/06 – Princípio variacional. Estados de equilíbrio. Existência de estados de equilíbrio para transformações expansivas. (seções 10.4 e 10.5)
20/06 – Aula para tirar dúvidas
21/06 – 2ª prova
Seminários:
03/07 – Jamilly
04/07 – Danilo
05/07 – Eberson
Eberson: Dimensão de Hausdorff de repulsores conformes (seção 12.4)
Danillo: Decaimento exponencial de correlação para deslocamentos de Markov (seção 7.4)
Jamilly: Medida de Haar (seção 6.3)
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