Cronograma de aulas de Elementos de Teoria dos Números (2020.3) |
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Primeira Parte 25/08 - Apresentação do curso. Divisibilidade, Algoritmo da Divisão. O Maior Divisor Comum, Teorema de Bézout. 27/08 - Colóquio do DMAT com o prof. Carlos Matheus Santos. 01/09 - Algoritmo de Euclides. Números primos e o Teorema Fundamental da Aritmética. 2 ténicas para demonstração: por absurdo e indução. Infinitude dos números primos. Crivo de Erastótenes. 03/09 - Representação na base b. Critérios de Divisibilidade. Congruências. sistema completo de resíduos módulo m. Equação diofantina linear. 08/08 - Congruências lineares. Teorema de Wilson. Pequeno Teorema de Fermat. Teorema de Euler, sistema reduzido de resíduos módulo m. 10/09 - Teorema do Resto Chinês. Problemas diversos de divisibilidade de congruências. 15/09 - Princípio da Casa dos Pombos, aplicações na Teoria dos Números. Teorema de Dirichlet e de Kronecker. Demontração combinatória do Pequeno Teorema de Fermat. 17/09 - Demonstração combinatória do Teorema de Wilson. Funções ariméticas: as funções τ(n) e σ(n), Funções multiplicativas. 22/09 - A função Φ(n) de Euler. A função μ de Moebius. Fórmula da inversão de Moebius, relação entre as funções Φ e μ. 24/09 - A função maior inteiro. 29/09 - Números perfeitos. Números de Fibonacci e recorrências lineares. 01/10 - Números de Pell. A série do inverso dos primos é divergente. Estimativas assintóticas da média das funções aritméticas. 06/10 - Resolução de alguns problemas. Tirar dúvidas. 08/10 - 1ª Prova Segunda Parte 13/10 - Resíduos quadráticos. Raízes de polinômio módulo p. A recorrência x^2 ≡ -1 (mod p). Símbolo de Legendre e critério de Euler. 15/10 - Símbolo de Legendre. Lema de Gauss. 20/10 - Lei de Reciprocidade Quadrática. Cálculo de símbolos de Legendre. Símbolo de Jacobi. 22/10 - Ordem, Raiz Primitiva. 29/10 - Raízes primitivas módulo p^t. Somente 1, 2, 4, p^t e 2p^t possuem raízes primitivas. 03/10 - Classificação dos números que são soma de dois quadrados. Todo inteiro pode ser escrito como soma de quatro quadrados. 05/10 - Todo primo da forma 4k+1 é escrito como soma de 2 quadrados de maneira única. Ternas pitagóricas. 10/11 - Frações contínuas. Convergentes, aproximações sucesivas. Propriedades dos convergentes. 12/11 - Propriedades dos convergentes. Teorema de Lagrange. 17/11 - Resolução de exercícios. 19/11 - 2ª Prova |