Eletromagnetismo - Parte II - Capítulo 10 - Guias de Onda

 Eletromagnetismo - Parte II

Capítulo 10

Guias de Onda

 

 

 

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco


1a. Edição - Versão 1.0 - 07/04/2013
Versão atual - 1.3 - 01/08/2013
Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

 

 

Recife, 2011/2013

Índice



                                                                                                  Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

Capítulo 10 – Guias de Onda

10.1 Introdução

 

    Guias de onda são estruturas guiantes, longitudinais, utilizadas para o transporte de informação e energia. Em aplicações que exigem transporte de alta potência, são utilizadas estruturas metálicas como o guia de onda retangular e o guia de onda circular, mostrados na Fig.10.1a. Em aplicações de mais baixa potência ou que exijam estruturas mais compactas como em processadores ou em aplicações de satélite, são utilizadas linhas de fita ou microfitas, como mostrado na Fig.10.1b. Na região espectral de freqüências ópticas, são utlizados guias de onda ou fibras ópticas, totalmente dielétricos, feitos de vidro, como ilustrado na Fig.10.1c.


    Estruturas que tenham um único condutor, como na Fig. 10.1a ou totalmente dielétricas como na Fig.10.1c não suportam modos TEM. Além disso, se a estrutura, mesmo tendo mais de um condutor, for composta de mais de um dielétrico, não pode suportar o modo TEM. Esse é o caso, na Fig.10.1b, da microfita que tem dois dielétricos (um deles é o meio externo, que pode ser o ar) e da linha de fita se esta for fabricada com dois dielétricos acima e abaixo do condutor central.

    O formalismo de obtenção de campos nas estruturas que não suportam modos TEM é desenvolvido neste capítulo. Esse formalismo que pode ser aplicado para qualquer estrutura de seção transversal uniforme é então utilizado para a análise de guias de onda de seção transversal retangular.      

Guia de onda retangular

Guia de onda circular

(a)

 

Linha de fita

Microfita

(b)

Guia de onda dielétrico planar

Fibra óptica

(c)

Fig.10.1 – Guias de onda: a) metálico retangular e circular; b) linha de fita e microfita; c) dielétricos: guia planar e fibra óptica.




                                                                                              Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

10.2 Modos eletromagnéticos em guias de onda

 

10.2.1 Natureza da solução em guias metálicos ou dielétricos

 

            Considere uma estrutura guiante limitada por uma superfície condutora, conforme ilustrado na Fig.10.2a. Esse tipo de estrutura não suporta modos guiados[1] TEM uma vez que de acordo com (9.9), o campo transversal elétrico teria de ser derivado de uma função potencial, i.e.,

 

                                                              ,                                                      (9.9)

 

com

 

                                                                    .                                                          (9.10)

 

Uma vez que a superfície  é equipotencial em cada plano z = z0, a condição de contorno para  seria

 

                                                                  ,

 

em que K0 é uma tensão constante para cada plano z = z0.  A solução de (9.10) nesse caso é

 

                                                                     ,

 

o que é assegurado pelo teorema da unicidade. De (9.9), essa solução leva a , que é a solução trivial.

 


                                                                                                  Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana


    Estruturas totalmente dielétricas como mostrado na Fig.10.2b, ou que tenham mais de um condutor, mas que tenham mais de um dielétrico, como é o caso da microfita da Fig. 10.1b, também não suportam modos TEM guiados. Também seria o caso da linha de fita da Fig.10.1a, se esta for constituída de dielétricos distintos em torno do condutor central. O que impede a propagação de modos TEM guiados em estruturas de mais de um dielétrico é o fato de ser impossível obter uma solução para os campos nos meios distintos que tenha uma constante de propagação linearmente relacionada com a freqüência (desprezando a dispersão do meio) conforme previsto por (9.18).  Como mostrado ainda neste capítulo, se houver uma relação não linear entre constante de propagação e freqüência, isso implica que os campos se propagam com um ângulo de desvio em relação ao eixo longitudinal. 

    O guiamento em estruturas totalmente dielétricas do tipo mostrado na Fig.10.2b pode também ser interpretado como aquele resultante de ondas que se propagam sofrendo reflexão interna total na interface dielétrico-dielétrico da estrutura. Para que isso ocorra, é necessário que a condição
seja satisfeita.

    A seguir o método formal de solução de modos em um guia de ondas é desenvolvido.       

(a)

(b)

Fig.10.2 – a) Guia de onda metálico. b) Guia de onda dielétrico.

 

 

10.2.2 Método formal de obtenção de modos em guias de onda

 

            Considere um guia de onda com seção transversal uniforme. O guia pode ser do tipo metálico ou dielétrico.  Se o guia for constituído de mais de um meio material, estes são considerados lineares, homogêneos e isotrópicos e sem perdas. Nesse caso, soluções gerais têm de ser obtidas em cada região e as condições em cada interface têm de ser utilizadas para determinação final dos campos.

 

            Seguindo o procedimento adotado no Capítulo 9, os campos de um guia de ondas são expressos nas formas

 

                               ,                     (10.1)

                             ,                    (10.2)

 

em que a dependência explícita com as coordenadas transversais é omitida, para simplificar a notação. Em (10.1) e (10.2),  é a constante de propagação, que depende tanto dos parâmetros materiais do meio de preenchimento do guia, quanto dos parâmetros geométricos da estrutura.  

 


                                                                                                  Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

            Conforme demonstrado a seguir, é possível expressar todos os campos transversais como função dos campos longitudinais. Estes, por sua vez podem ser determinados resolvendo a equação de Helmholtz escalar. Para obter essas expressões, seja a decomposição (9.3) para o operador ,

 

                                                               .                                                       (9.3)

 

Inserindo (10.1), (10.2) e (9.3) em (7.213) vem

 

                           ,

 

que fornece apos algumas manipulações

 

                                                         ,                                               (10.3)

 

                                                .                                      (10.4)

 

            De forma semelhante, inserindo (10.2) e (9.3) em (7.216) fornece

 

 

                                                          ,                                                (10.5)

 

                                               .                                     (10.6)

 

Utilizando as condições para a divergência dos campos E  e H, tem-se de (7.214) e (7.215), respectivamente

 

 

                                                              ,                                                    (10.7)

 

                                                             .                                                   (10.8)

 

 

            Finalmente, tem-se também a Eq. de Helmholtz (7.217), reproduzida abaixo

 

                                                               ,                                                     (10.9)

com

                                                                    ,                                                      (10.10)

 

em que ng é o índice de refração do meio de preenchimento do guia.  A equação (10.9) com o emprego da decomposição (9.3) fornece, após algumas manipulações

 

 

                                                             ,                                                 (10.11)

 

                                                             ,                                                 (10.12)

com , em que

 

                                                                                                                      (10.13)

 

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é definido como o número de onda de corte. Assim, tanto os campos transversais como longitudinais satisfazem uma equação de Helmholtz, em que o número de onda é substituído pelo número de onda do corte.  Como demonstrado a seguir, é mais conveniente resolver a equação diferencial para os campos longitudinais, e utilizá-los para obtenção dos campos transversais de forma direta. Para isso, considere a operação  sobre (10.3), o que fornece

 

                                             ,

 

e com base na identidade (1.44),

 

                                           .

 

            Inserindo (10.7) e (10.11), com F à E nessa expressão e rearranjando termos fornece

 

 

                                                                                    (10.14)



Procedimento semelhante pode ser aplicado tendo como ponto de partida (10.5), com o emprego de (1.44), (10.8) e (10.11) com F à H, resultando em

 

                                                                                (10.15)


 

            As expressões (10.14) e (10.15) mostram que resolvendo as equações diferenciais para os campos longitudinais, na forma (10.12), que é uma equação escalar bidimensional, permite a determinação dos campos transversais por diferenciação direta. Em resumo, a determinação dos modos eletromagnéticos em um guia de ondas pode ser realizada de acordo com o seguinte procedimento:

 

Passo 1: Obtenção dos campos longitudinais de  (10.12):

 

                                                             ,                                                 (10.16)

                                                                           

                                                            ,                                                (10.17)

com

                                                                 .                                                    (10.13)

 

Passo 2: Obtenção das componentes transversais de (10.14) e (10.15):

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                                                                                    (10.14)

 

                                                                                (10.15)

 

            O número de onda de corte  tem uma característica importante. As equações (10.16) e (10.17) são resolvidas sujeitas às condições de contorno na seção transversal do guia de ondas. Como conseqüência, o número de onda de corte, que é o autovalor de ambas as equações diferenciais, é aquele que permite que as soluções gerais de (10.16) e (10.17) se ajustem às condições de contorno para os campos. Ou seja, o parâmetro  depende apenas das propriedades geométricas e materiais da estrutura. Só irá depender da freqüência por meio da dispersão material dos meios envolvidos. Caso a dispersão material seja desprezada, o número de onda fica dependente apenas dos parâmetros geométricos. 

 

10.2.3 Classificação dos modos

 

            A configuração geométrica da estrutura guiante determina modos com características bem específicas. Note que a formulação desenvolvida na seção anterior inclui também a obtenção do modo TEM, estudado no Capítulo 9.  O termo modo dá à configuração de campo uma característica bem específica, o que se traduz em um campo com uma dependência em freqüência da constante de propagação bem definida. 

 

A. Modo TEM

 

            O modo TEM é aquele em que . Como discutido no Capítulo 9, esse modo tem constante de propagação e essa condição em (10.13) fornece . As expressões (10.14) e (10.15) nesse caso ficam indeterminadas e tem de se analisar as equações originais para os campos, algo que foi feito no Capítulo 9. Como discutido anteriormente, esse tipo de modo pode existir em linhas de transmissão de dois ou mais condutores, desde que não haja mais de um dielétrico compondo a estrutura. Uma característica importante do modo TEM é que este pode se propagar em uma linha de transmissão, independentemente da freqüência, ou seja, não há limite inferior de freqüências para propagação do modo TEM em uma linha de transmissão.

 

B. Modos TE

 

            Modos TE (transverso-elétricos) são aqueles em que , com .  Obtida a solução para  de (10.17), (10.15) fornece

 

                                                              .                                                 (10.18)

 

 O campo  pode ser obtido de (10.14) ou utilizando (10.18) em (10.6), o que fornece

                                                     .

 

Usando (10.13) na expressão anterior, fornece, apos algumas manipulações

 

                                                                                                            (10.19)

com

 

                                                                                                                         (10.20)


sendo definida como a impedância de onda do modo TE. Note que fazendo a operação   em ambos os membros de (10.19) fornece

 

                                                            .                                                (10.21)



que representa a relação canônica entre os campos elétrico e magnético de uma onda plana.

 

            Multiplicando numerador e denominador do segundo membro de (10.20) pelo fator , a impedância do modo TE pode ser posta na forma

 

                                                                   ,                                                     (10.22)

em que Z é a impedância de onda do meio de propagação, dada por (7.226).  De (10.13) e da expressão (10.22) conclui-se que para o caso de um modo não evanescente no guia de onda, i.e., para real, a impedância de onda do modo TE é sempre maior ou igual à impedância de onda do meio de propagação.

 

 

            Para obtenção da solução correspondente à propagação no sentido , faz-se a reversão de sinal .  A equação diferencial (10.17) tem como solução .  Admitindo que o mesmo sinal seja mantido  para uma reversão de sinal de ,  (10.18) –(10.20) mostram que

                                                                           

                                                        ,

 

 

                                                          .

 

Ou seja, as soluções para os campos E e H do modo TE para os dois sentidos de propagação podem ser escritas nas formas

 

                                                                                                                    (10.23)

 

                                                                                                 (10.24)

 

com ,  e   correspondendo à solução obtida para propagação no sentido .

 

C. Modos TM

 

            Modos TM (transverso-magnéticos) são aqueles em que , com .  Obtida a solução para  de (10.16), (10.14) fornece

 

                                                              .                                                 (10.25)

 

            O campo  pode ser obtido de (10.15) com e expressando o segundo membro de (10.25) como função do campo elétrico transversal, o que fornece

 

                                                        ,


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que com algumas manipulações algébricas pode ser posta na forma

 

                                                            ,                                                (10.26)

 

com

 

                                                                  ,                                                      (10.27)

 

que representa a impedância de onda do modo TM. De (10.13) e da expressão (10.29) conclui-se que para o caso de um modo não evanescente no guia de onda, i.e., para real, a impedância de onda do modo TM é sempre menor ou igual à impedância de onda do meio de propagação.

 

 

            Comparando (10.22) com (10.27) tem-se a propriedade

 

                                                                .                                                    (10.28)

 

 

            Para obter a solução para propagação no sentido , pode-se arbitrar que a componente z do campo elétrico mude de sinal perante uma reversão de sinal da constante de propagação, de forma que a componente transversal se mantenha inalterada. Ou seja, arbitrando

 

                                                          ,


das expressões (10.17) – (10.29) obtém-se

 

                                                          ,

 

                                                        ,


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e portanto as soluções para os campos E e H do modo TM para os dois sentidos de propagação podem ser escritas nas formas

 

                                                        ,                                            (10.29)

 

                                                              ,                                                  (10.30)

 

com ,  e   correspondendo à solução obtida para propagação no sentido .

 

            Em guias planares e fibras ópticas, modos TE e TM coexistem e dão origem a modos híbridos em que ambas as componentes longitudinais dos campos podem coexistir. O tratamento desses modos não é tratado neste texto, pois está além dos objetivos.

 

 

10.2.4 Fluxo de potência e freqüência de corte

 

 

            A potência média que flui ao longo da direção de propagação pode ser obtida do fluxo do vetor de Poynting através de qualquer seção transversal, i.e.,

 

                                                       .                                           (10.31)

 

            Considere por exemplo que a propagação do modo se dê no sentido +z. Uma vez que na operação produto vetorial, a componente longitudinal para modos TE ou TM não contribui com um vetor resultante na direção z, (10.31) pode ser posta na forma

 

 

                                              ,

 

ou equivalentemente

 

 

                                              .                                  (10.32)

 

 

            Utilizando (10.21) ou (10.26), (10.32) pode ser posta na forma

 

 

                                                     .                                         (10.33)


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            A potência ativa que flui ao longo da direção de propagação, obtida de (10.33), é dada por

 

 

                                                 .                                     (10.34)



 

            Admitindo que o meio que preenche o guia de ondas seja sem perdas, e considerando  real, as impedâncias de onda dos modos TE ou TM são reais, como pode ser inferido de (10.22) e (10.27), e (10.34) reduz-se a

 

 

                                                      .                                          (10.35)


 

            A potência que flui através do guia é puramente ativa no regime sem perdas, na condição em que  é puramente real.      

 

            Há situações, no entanto, que são exploradas ainda neste capítulo, em que a constante de propagação torna-se um número imaginário puro, mesmo que o meio de preenchimento seja sem perdas. Considere (10.13), re-escrita na forma

 

                                                            .                                                (10.36)

 

Definindo o número de onda de corte pela relação

 

                                                                 ,                                                     (10.37)

 

em que

 

                                                                                                                          (10.38)

 

é a freqüência angular de corte, que também define a freqüência de corte fc.  Note que (10.37), com auxílio de (10.38), pode ainda ser posta na forma

 

                                                                                                                      (10.39)


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            De (10.39) e com emprego da relação entre número de onda e freqüência em um meio de índice de refração real , obtida de (7.128), i.e.,

 

                                                                  ,                                                      (10.40)

 

a expressão (10.36) fornece

 

                                                           .                                               (10.41)

 

            Para  real, pode-se também definir o comprimento de onda no guia por

 

                                                                    ,                                                        (10.42)

 

e (10.41) pode ser escrita na forma

                                                         ,                                             (10.43)



 

em que  é o comprimento de onda no vácuo.

 

            As expressões (10.41) ou (10.43) permitem interpretar melhor o significado da condição de corte. Como mostra (10.39), o número de onda de corte, e por conseqüência a freqüência de corte definida em (10.38), não depende da freqüência para meios sem dispersão, uma vez que n, nesse caso, independe da frequência.  Com isso, (10.41) indica que a constante de propagação é real na condição , i.e. para freqüências superiores à freqüência de corte. Para  a constante  torna-se puramente imaginária.  Nessa condição, os campos se tornam exponencialmente decrescentes, i.e, evanescentes, no sentido esperado de propagação ao longo do guia.  Nessa condição, a impedância do modo dada por (10.22) ou (10.27) torna-se também puramente imaginária.  Nesse regime, portanto, 

 

                                                   .                                       (10.44)


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Inserindo (10.44) em (10.34), obtém-se, na condição ,

 

                                                  .                                      (10.45)

 

            Utilizando a forma (10.44) em (10.22) e em (10.27), tem-se, para ,

 

                                                                 ,                                                     (10.46)

                                                               .                                                    (10.47)

 

 

            Utilizando (10.46) ou (10.47) em (10.45) fornece , e portanto, para  não há fluxo de potência ativa ao longo da direção longitudinal do guia.

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Exemplo 10.1: Modo TE em um guia de placas paralelas sem preenchimento.

 

            Considere o guia de onda de placas paralelas mostrado na Fig.10.3.  Foi mostrado no Capítulo 9 que essa estrutura suporta o modo TEM.  Ela também suporta modos TE e TM e híbridos. Considere que a região entre placas seja o vácuo, i.e., n = 1. Nessas condições o número de onda é . Admitindo por simplicidade, que os campos não variem com x, i.e., na condição , a solução para o modo TE por exemplo, pode ser obtida resolvendo (10.17) para  ou, equivalentemente, com , i.e., 

 

                                                                                                              (10.48)

 

A solução geral de (10.48) pode ser escrita na forma

 

                                                   .                                       (10.49)

 

Inserindo (10.49) em (10.18) fornece

 

                                           .                               (10.50)

           

Fig.10.3 – Guia de placas paralelas do Exemplo 10.1.

 

As características dos modos TE podem ser determinadas aplicando a condição de contorno (6.64) nas paredes condutoras em y=0 e y=b. Uma vez que entre as paredes, , (6.64) e no interior de cada parede condutora , tem-se

 

                                                                                                            (10.51)

 

Utilizando (10.50) na condição (10.51), fornece

 

                                                                      ,                                                        (10.52)

 

                                                      ,                                           (10.53)

 

            A expressão (10.53) mostra que apenas valores discretos do número de onda de corte são obtidos. A solução m = 0 corresponderia a solução trivial para (10.50). Obtido o número de onda de corte, obtêm-se os seguintes representativos do modo TE:

 

Constante de propagação

 

                                                          .                                              (10.54)

 

 

Freqüência de corte

 

                                                                  .                                                     (10.55)

 

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Impedância de onda

 

                                                        .                                             (10.56)

 

 

Solução para os campos

 

            Utilizando (10.52) e (10.53) em (10.50), fornece

 

                                                     .                                         (10.57)

 

Utilizando (10.56) e (10.57) em (10.19) fornece

                                            ,

ou equivalentemente,

                                                 .                                     (10.58)

 

            É conveniente expressar a solução tendo a amplitude do campo elétrico como parâmetro. Definindo

 

                                                             ,                                                 (10.59)

 

a solução final para os campos, obtida de (10.50), (10.57) e (10.58) pode ser posta na forma

 

                                                    ,                                        (10.60)

 

                             (10.61)




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Potência no m-ésimo modo

 

            Para determinar a potência eletromagnética que flui ao longo do guia, para uma largura w ao longo da direção x, (10.35) fornece

 

                                                        .                                            (10.62)

 

Inserindo (10.60) nessa expressão, após integração obtém-se

 

                                                               .                                                   (10.63)



Alternativamente, (10.63) pode ser expressa explicitamente em função da freqüência, dos parâmetros geométricos e da ordem do modo, inserindo (10.56), com o auxílio de (10.55), em (10.63), o que fornece

           

                                               ,                                   (10.64)



em que  e  são a impedância de onda e comprimento de onda no espaço livre, respectivamente.

 

 

Decomposição em ondas planas

 

 

            É ilustrativo observar que o modo guiado pela estrutura de duas placas paralelas, pode ser obtido da superposição de ondas planas. Para isso, seja a definição do vetor de onda

 

                                                          .                                              (10.65)

 

            O vetor campo elétrico pode ser escrito na forma vetor campo elétrico, dado por (10.60), pode ser escrito como

 

                                                  .

 

Essa expressão, após algumas manipulações algébricas, pode ser posta na forma

 

                                                  ,                                       (10.66)

 

com , representando o vetor posição,  dado por (10.65) e

 

                                                                .                                                    (10.67)

 

 

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            Como o campo elétrico pode ser decomposto como a superposição de duas ondas planas se propagando ao longo das direções dos vetores , a unicidade da relação canônica entre os campos elétrico e magnético de uma onda plana, permite antecipar que o campo magnético será a superposição dos respectivos campos magnéticos dessas ondas planas, i.e.,

 

                                                 ,                                      (10.68)

 

 

com cada componente obtida diretamente de (7.148), i.e.,

 

                                                          .                                              (10.69)

 

 

Em (10.69), o termo entre parêntesis representa o vetor unitário no sentido do vetor de onda, uma vez que , como pode ser mostrado de (10.65) com o auxílio de (10.13).

 

            As expressões (10.66) e (10.68) mostram que os campos se propagam no guia na forma de ondas planas que parecem sofrer reflexões sucessivas nas placas inferior e superior do guia.  A existência de um índice discreto na componente y do vetor de onda, indica  no entanto, que apenas ângulos discretos de incidência relativamente à direção normal a cada placa são permitidos. Com base na Fig.10.4, que ilustra essa superposição de ondas planas, a magnitude do ângulo de desvio de cada vetor de onda em relação ao eixo z pode ser obtida da relação.

                                                                           

Fig.10.4 – Representação do modo TEn como superposição de duas ondas planas. 

 

                                                                ,                                                    (10.70)


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De (10.53) e (10.54), (10.70) pode ser re-escrita na forma

 

                                        ,



 

ou equivalentemente, com base em (10.55) e na relação ,

 

                                                   .                                       (10.71)



 

            A expressão (10.71) mostra que:

 

·            Cada modo TEm, quando excitado, é a superposição de ondas planas que se propagam com ângulos bem definidos em relação à direção longitudinal.

·            Na condição de corte, , e isso corresponde a duas ondas planas se propagando para cima e para baixo com ângulo de  em relação à direção longitudinal.

·            À medida que o comprimento de onda diminui, a direção de propagação de um dado modo se aproxima da direção longitudinal.

 

A velocidade de fase de um dado modo, pode ser obtida da relação

 

                                                  .                                                   (10.72)

 

Com base em (10.41) obtém-se

 

 

                                                                                                          (10.73)



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A expressão (10.73) mostra que:

·            A velocidade de fase do modo guiado é sempre maior ou igual à velocidade da luz.

·            A velocidade tende à velocidade da luz para freqüências muito altas, i.e., .

·            A velocidade de fase tende a um valor infinito, quando a freqüência do modo guiado se aproxima da freqüência de corte, i.e.,

                                                                           

---

 

10.3 Guia de onda retangular

 

            Propriedades mais tangíveis de modos em guias de onda podem ser obtidas para configurações de interesse prático. Nesta seção o guia de onda retangular, ilustrado na Fig.10.5, é analisado[2]. Esse tipo de estrutura, é corriqueiramente utilizado em estações de TV, no transporte de microondas de alta potência desde o gerador à antena, em aceleradores lineares, também no transporte de altas potências de microondas até a região de interação do campo eletromagnético com o feixe de elétrons, entre outras aplicações.  Na análise a seguir, admite-se que a seção transversal do guia de ondas é retangular e que a estrutura é infinitamente longa na direção z.

 

 

10.3.1 Solução para os modos TE

 

A. Solução geral para Hz

 

            Para o modo TE, a função potencial para os campos transversais é a componente longitudinal do campo magnético que deve satisfazer a (10.17), i.e.,

 

                                                      .                                         (10.74)

 

            Modos com distribuições transversais bem definidos podem ser obtidos admitindo, seguindo procedimento semelhante àquele adotado no Capítulo 3, que a função Hz seja separável na forma

 

                                                              .                                                 (10.75)

 

Inserindo (10.75) em (10.74) e rearranjando, obtém-se

 

                                                        .                                            (10.75)

 

            Novamente temos uma soma de funções de variáveis independente que é sempre constante independentemente dos valores dessas variáveis, i.e., (10.75) é da forma

 

                                                            ,                                                (10.76)

 

com

 

                                                                                                                    (10.77)

e

 

                                                                .                                                    (10.78)



            A combinação do primeiro membro de (10.76) só pode ser de fato constante se (10.77) e (10.78) o forem. A escolha

 

                                                                  ,                                                     (10.79)

 

                                                                 ,                                                      (10.80)


satisfaz (10.76) na condição

 

 

Fig.10.5 – Ilustração de um guia de ondas retangular.

 

com

 

                                                                 .                                                    (10.81)

 

É importante observar que as constantes de separação kx e ky ainda precisam ser determinadas, o que permite obter o número de onda de corte kc.

 

            Com as definições (10.77) e (10.78), (10.79) e (10.80) fornecem, respectivamente, as equações diferenciais

 

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                                                               ,                                                   (10.82)

 

                                                               .                                                    (10.83)

 

            As soluções gerais de (10.82) e (10.83) podem ser postas, respectivamente, nas formas

 

                                                        ,                                            (10.84)

 

                                                       ,                                            (10.85)

 

em que A, B,  e  são constantes a serem determinadas. Inserindo (10.84) e (10.85) em (10.75), esta assume a forma

 

                                             ,                                 (10.86)

 

com

 

                                                                                                                           (10.87)

 

 

B. Condições de contorno

 

            Para determinação das várias constantes que compõem (10.86), aplica-se a condição de contorno para o campo magnético ou para o campo elétrico, uma vez que estes são interdependentes. Uma vez que o campo magnético tangencial em um condutor perfeito é não nulo, e está associado à densidade de corrente superficial nesse condutor, que não é conhecida, a condição de contorno nas paredes condutoras para a componente Hz não dá informação com os elementos conhecidos no problema até este estágio da análise.  Por outro lado, na superfície de um condutor perfeito, a condição de contorno para a componente normal do vetor densidade de fluxo magnético é

 

                                                                     ,                                                        (10.88)

 

e da relação constitutiva no interior do guia, , (10.88) equivale à condição

 

                                                                     .                                                       (10.89)

 

            A expressão (10.89) independe de qualquer quantidade desconhecida no problema e pode ser utilizada para obtenção das constantes que aparecem em (10.86). A componente Hn é obtida da componente transversal do campo magnético, dada por (10.18), i.e.,

 

                                                             ,



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e de (10.86) essa expressão fornece

 

                                                       ,                                           (10.90)

com

 

                                               ,                                   (10.91)

 

                                               .                                   (10.92)

 

            A condição de contorno (10.89) aplicada em cada superfície condutora do guia gera as condições

 

                                           ,                               (10.93)

                                           .                               (10.94)

 

 

            As condições de contorno (10.93) fornecem as equações

 

 

                                            ,                                (10.95)

 

                                        .                            (10.96)

 

Para anular (10.95) independentemente do valor de y deve-se impor

 

                                               ,                                   (10.97),

 

Note que independentemente do valor de , (10.96) assume a forma

 

                                            .                                (10.98)

 

Ou seja, basta escolher de (10.97) a solução , e de (10.98),

 

                                                                                              (10.99)

 

            Utilizando desenvolvimento semelhante, é fácil mostrar que (10.94) fica satisfeita para

 

                                                                     ,

 

                                                      .                                        (10.100)


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            Com esse resultado, (10.86) reduz-se a

 

                                              .                               (10.101)

 

            De (10.99)  e (10.100), o numero de onda de corte, obtido de (10.81) fica na forma

 

                                                    .                                      (10.102)

 

            Os modos TE são indexados pelos parâmetros m e n e recebem a denominação de modos TEmn. Antes de se deduzir as expressões para as outras componentes de campo, alguns parâmetros dos modos TEmn serão deduzidos. 

 

 

C. Parâmetros característicos dos modos TEmn

 

 

Freqüência de corte

 

            A freqüência de corte do modo TEmn é aquela abaixo da qual o modo não se propaga ao longo do guia. A condição de corte pode ser obtida, como já discutido anteriormente, no limiar a partir do qual a constante de propagação  é real. Essa condição é obtida de (10.41), em que  torna-se real para . A freqüência de corte  é obtida de (10.39) com auxílio de (10.102) o que fornece

 

                                                  ,                                     (10.103)

com

 

                                                    .                                      (10.104)    

 

 

            Por exemplo, para b < a,  a menor freqüência de corte é aquela associada ao modo TE10 e dada por

 

                                                                                                                  (10.105)


 

            O modo TE10 é analisado com maior detalhe na Seção 10.4.

 

Constante de propagação

 

            A constante de propagação é obtida diretamente de (10.13) com o emprego de (10.102) o que fornece

 

                                                            .

 

Essa expressão, com o emprego de (10.39) pode ser posta na forma

 

                                                                                             (10.106)

 

            É importante notar que a constante de propagação, é uma função não linear da freqüência e depende das dimensões transversais do guia de onda. A dependência não linear com a freqüência permite antecipar a existência de um efeito dispersivo de guia de onda, alem do possível efeito dispersivo inerente ao meio de preenchimento. Essa questão será explorada com mais detalhe na Seção 10.4.

 

Comprimento de onda no guia

 

            De (10.106) e com base na relação entre número de onda e comprimento de onda no espaço livre, , o comprimento de onda no guia, , é simplesmente

 

                                                     .                                        (10.107)

 

Impedância de onda

 

A impedância de onda, pode ser calculada de (10.22) com o emprego de (10.106), resultando em

 

 

                                                       .                                         (10.108)



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            É importante notar que a impedância do modo é dependente da freqüência e das dimensões transversais do guia de onda. Abaixo da freqüência de corte, a impedância do modo torna-se puramente imaginária, como se pode inferir de (10.108).

           

D. Campos do modo TEmn

 

            Antes de prosseguir, é interessante introduzir uma notação compacta para as funções trigonométricas que constituem as soluções para os campos. Essas funções têm propriedades importantes de diferenciação e ortogonalidade, que são exploradas na determinação das várias componentes de campo e na obtenção da distribuição de potência entre modos guiados. Dessa forma definem-se as funções

 

                                            ,                               (10.109)

 

                                             ,                               (10.110)

 

                                            ,                               (10.111)

 

                                             ,                               (10.112)

 

que têm propriedades de diferenciação com respeito às coordenadas x, y, que podem ser sintetizadas com o emprego do operador , nas formas

 

                                               ,                                 (10.113)

 

                                               ,                                 (10.114)

 

                                              ,                                (10.115)

 

                                              .                                (10.116)

 

 

            Com essas definições, o campo magnético longitudinal dado por (10.101) pode ser re-escrito na forma

 

                                                               ,                                                 (10.119)

 

em que foi introduzido o subscrito mn na amplitude do campo longitudinal. Como na expressão (10.119) a dependência explicita com os argumentos x e y será omitida a partir deste ponto, para simplificar a notação.

 

            O campo magnético transversal, obtido de (10.18) é calculado diretamente com o emprego de (10.116), e é dado por

 

                                        .                          (10.120)

 

 

            O campo elétrico transversal é obtido de (10.19). Fazendo a operação produto vetorial, obtém-se

 

                                                            (10.121)

 

            É conveniente expressar as amplitudes de campo, em termos de uma amplitude de campo elétrico, definida por

 

                                                                                                    (10.122)

 

Utilizando a definição (10.122) em (10.121) e (10.120) fornece

 

                                             ,                               (10.123)

 

 

                                       ,                          (10.124)

 

e a componente longitudinal do campo magnético se torna

                                                                                          (10.125)

           

 

            Assim, os campos elétrico e magnético para o modo TE, com a inclusão da dependência em z, são dados por

 

                                      ,                         (10.126)

 

                   .     (10.127)

 

10.3.2 Ortogonalidade dos modos

 

            É importante observar que os modos de propagação no guia de onda retangular são ortogonais, no contexto de espaço de funções. Para examinar essa questão em mais detalhe, sejam f e g, funções escalares no domínio , .  O produto escalar entre essas funções nesse domínio é definido pela relação

 

                                              ,                                (10.128)

 

A expressão (10.128) dá uma indicação de quão próxima é a variação espacial de f em relação a de g, e vice-versa.  Se o resultado da operação for nulo, diz-se que as funções são ortogonais, quanto à distribuição espacial no domínio.

 

            De forma análoga, sejam  e  dois vetores definidos no mesmo domínio. Uma indicação de semelhança de distribuições espaciais e do grau de alinhamento médio entre esses vetores no domínio pode ser obtida pelo cálculo da quantidade

 

                                                   .                                     (10.129)

 

            O uso do complexo conjugado em (10.128) e (10.129) é feito em consonância com a obtenção de medias temporais, conforme discutido na Seção 7.3.  De forma semelhante, o grau médio de ortogonalidade entre os campos vetoriais  e  no domínio sob consideração pode ser determinado pela operação

                                                                                        (10.130)

 

            É fácil mostrar que as funções (10.100)-(10.112) satisfazem à propriedade de ortogonalidade

 

                                                                           (10.130)

 

com

                                                       .                                         (10.131)

 

 

            Obviamente, (10.130) se aplica para todas as funções (10.100)-(10.112) desde que sejam não nulas e permitidas nas soluções para os modos — estão assim excluídas as funções nulas,  e a função  que não fornece um modo de propagação no guia de onda. A função delta de kronecker entre parêntesis no segundo membro de (10.130) é unitária se o produto mn for nulo, com a restrição de apenas um dos índices ser nulo, conforme imposto por (10.131). De acordo com as expressões (10.100)-(10.112) apenas as funções , ,  e  se enquadram nesse caso. A condição de ortogonalidade (10.130) aplicada a essas funções fornece o valor (ab)/2 como resultado. Em todos os outros casos, o valor obtido de (10.130) é (ab)/4.

 

---

Exemplo 10.2 – Determinar .

 

 

            Utilizando (10.129) vem

 

                                           .

 

            De (10.126) tem-se

 




 

Utilizando (10.130) e na hipótese da constante de propagação ser real, obtém-se

 

                   ,


 

mediante à restrição (10.131). Em vista de (10.102), essa última expressão reduz-se a

 

                                      .                        (10.132)

 

            É importante observar que a expressão (10.132) é nula se os modos forem distintos. É nesse contexto que se pode afirmar que os modos são ortogonais, o que implica que um modo não pode ser obtido como combinação linear dos outros.

10.3.3 Distribuição de potência entre modos TE

 

            Suponha que um conjunto de modos TE se propague no guia de onda retangular.  Uma questão importante é de que forma a potência que flui no guia se distribui entre os vários modos. Para generalizar essa questão, suponha que o conjunto de modos inclua todos os modos possíveis.  Se esse é o caso, o campo elétrico transversal total é dado por

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                                                               .                                                 (10.133)




A soma em (10.133) é uma soma dupla restrita à condição (10.131). É importante observar que a parcela de cada modo no campo total está contida nas amplitudes  dos vários modos. O campo magnético da onda guiada tem componente transversal que pode também ser decomposta na forma

 

                                                                                                               (10.134)


 

            A componente z do vetor de Poynting é obtida de (7.84),

 

                                                         ,                                           (10.135)

 

e a potência que flui ao longo do guia através do plano transversal de coordenada z é pode ser obtida de

 

                                                       .                                          (10.136)

 

Inserindo (10.133) e (10.134) em (10.136), fornece

 

                                            .                              (10.137)


 

            Para o cálculo de (10.137) utiliza-se as expressões (10.126) e (10.127), o que fornece

 

.



 

Tendo em vista as propriedades de ortogonalidade (10.130), esta última expressão pode ser posta na forma

 

 

            .



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Utilizando (10.102) nesta expressão e inserindo o resultado em (10.137) permite expressar a potência complexa que flui através do plano z = constante na forma

 

                                                           ,                                             (10.138)

com

 

                                                              (10.139)

 

            A expressão (10.138) demonstra que a potência de entrada é transportada como a soma das potências transportadas pelos modos individuais. Note que cada contribuição pode ser real ou complexa, dependendo de o modo estar ou não com freqüência acima de sua freqüência de corte. De (10.139), o modo TEmn, com , tem-se que e são ambos reais e (10.139) reduz-se a

 

                                  ,                     (10.140)



e a parcela da potência total contida no modo é puramente ativa, e independente da coordenada z. Por outro lado, se, tem-se que e são imaginários puros e de (10.139)

 

                               ,                 (10.141)

com

 

                                                                ,                                                  (10.142)

e

                                                               .                                                 (10.143)

 

e a potência, puramente reativa, decai exponencialemente com a coordenada z. Nesse caso, o modo não contribui com qualquer parcela de potência ativa através do guia e fica armazenando energia reativa em uma região longitudinal, cuja extensão depende do valor do parâmetro .

 

 

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10.3.4 Solução para os modos TM

 

            Para modos TM, a função potencial para o problema é a componente longitudinal do campo elétrico, que deve satisfazer à equação (10.16), reproduzida abaixo

 

                                                             .                                                (10.16)

 

Seguindo procedimento semelhante ao adotado na seção anterior, a solução geral de (10.16) pode ser posta na forma

 

                                              .                                (10.144)

 

A condição de contorno de valor nulo para a componente tangencial do campo elétrico em cada parede condutora pode ser utilizada para a própria componente Ez, o que fornece

 

                                       .                         (10.145)

 

As equações (10.145) são satisfeitas com as escolhas

 

                                                                                                                (10.146)    

 

                                                                                      (10.147)

 

                                                                                         (10.148)

 

Assim, a solução para Ez é dada por

 

 

                                                                                                              (10.149)


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com uumn definido em (10.109).  As expressões gerais para número de onda de corte, freqüência de corte, constante de propagação, comprimento de onda no guia são as mesmas obtidas para os modos TE. No entanto, o modo TM de mais baixa ordem é aquele em que . Uma inspeção de (10.138) indica que qualquer dos índices nulo gera a solução trivial.  Portanto o modo de mais baixa ordem TM11 tem freqüência de corte

 

                                                          .                                            (10.150)

 

A impedância de onda do modo TMmn, obtida de (10.28), com auxílio de (10.108) é simplesmente

                                                                                              (10.151)

 

            Para obtenção dos campos transversais, obtém-se primeiramente o campo elétrico de (10.25), com o emprego de (10.113), o que fornece

 

                                           ,                             (10.152)

com

 

                                                            .                                             (10.153)    

 

O campo magnético é obtido de (10.154) com o emprego de (10.26), resultando em

 

                                     .                       (10.154)



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            Em resumo, as expressões finais para os campos do modo TM com a definição (10.153) são

 

                            (10.155)

 

                                                    (10.156)

 

            A potência eletromagnética do modo, pode ser obtida diretamente da expressão (10.139), observando que no caso do modo TM, nenhum dos índices pode ser nulo, o que fornece

 

                                                                                       (10.157)

 

 

Como antes, se , (10.157) reduz-se a

 

                                                      .                                         (10.158)

 

 

 

 

 

 

 10.3.5 Atenuação devida à condutividade finita das paredes do guia

 

A. Formulação para o caso de pequenas perdas

 

            Para determinação da atenuação devida às perdas inerentes à condutividade finita das paredes condutoras do guia, utiliza-se o formalismo desenvolvido no Capítulo 9.  Para isso, seja [3] o campo tangencial em cada parede. Devido à condutividade finita das paredes condutoras, há um pequeno campo elétrico tangencial em cada parede dado por (9.103),

 

 

                                                      ,                                          (9.103)

 

em que  é o vetor unitário dirigido para o interior da parede metálica e Zmetal é a impedância do metal definida no Capítulo 8 e dada por

 

                                                                                                              (8.158)

 

com

                                                                   ,                                                      (8.159)

 

representando a resistência de folha do condutor.

 

            O vetor de Poynting na parede metálica é portanto

 

                                                       ,



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e de (9.103) essa expressão pode ser posta, após algumas manipulações algébricas, na forma

 

                                                     .                                       (10.159)

 

            Com essa expressão básica é possível calcular a potência dissipada em um elemento de área , conforme ilustrado na Fig.10.6.  A potência dissipada em um comprimento é dada por

 

                                                    ,



 

ou equivalentemente, com o emprego de (8.158) e (10.159),

 

 

                                                       .                                         (10.160)



            Em (10.160) a integral de linha é realizada ao longo do caminho C retangular e ortogonal à direção z, conforme ilustrado na Fig.10.7.

 

            Para o cálculo de (10.160), o campo magnético tangencial utilizado na integração é aquele obtido para o guia ideal sem perdas. Para o guia retangular, independentemente do tipo de modo mn, o campo magnético tangencial nas paredes localizadas em x = 0 e y = 0 é

 

                                                    (10.161)

 

                                                    (10.162)

 

            Pela simetria da estrutura, as perdas nas paredes x = 0 e x =a são iguais, o mesmo princípio sendo obedecido para as perdas nas paredes localizadas em y = 0 e y = b. Com essa consideração, utilizando (10.161) e (10.162) em (10.160), fornece, para o modo mn de propagação,

 

                                            ,                               (10.163)

com

 

                                                                                (10.164)

e

 

                                              .                                (10.165)

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig.10.6 – Geometria para o cálculo da potencia dissipada nos condutores de um guia de ondas retangular.

 

Fig.10.7 – Detalhamento do cálculo da potência dissipada em um comprimento diferencial longitudinal do guia.

           

            Uma vez calculada (10.163), no regime de pequenas perdas, a constante de atenuação para o modo mn pode ser obtida, com base na expressão para a potência eletromagnética transportada pelo modo, calculada no caso sem perdas, e admitindo que essa potência decaia ao longo do guia com constante de atenuação , i.e,

 

                                                            ,                                               (10.166)

 

em que é a potência transportada pelo modo em z =0.  A expressão (10.166) é solução da equação diferencial

 
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ou equivalentemente,

 

                                                           .                                             (10.167)

 

            De acordo com a discussão anterior, a taxa de variação no segundo membro de (10.167) deve corresponder ao negativo da potência dissipada por unidade de comprimento obtida de (10.163), ou seja,

 

                                                              ,                                                 (10.168)

 

e portanto

 

                                                            .                                              (10.169)

 

            Essa expressão permite obter a constante de atenuação no modo, com base em (10.163) e na expressão para a potência transportada pelo modo Pmn no caso sem perdas. A seguir as constantes de atenuação para modos TE e TM são obtidas.

 

 

B. Constante de atenuação para modos TE

 

            Admitindo que o modo TEmn seja excitado acima da freqüência de corte, para o cálculo de (10.163) , tem-se

 

                    ,      (10.170)

                        .          (10.171)

 

Definindo as operações de integração unidimensional de funções de duas variáveis nas formas

 

                                       ,                         (10.172)

                                       ,                         (10.173)

 

é fácil mostrar que as funções uv, vu e vv definidas em (10.109) – (10.112) satisfazem às relações de ortogonalidade

 

                                                ,                                  (10.174)

 

                                                 ,                                   (10.175)

 

                                       ,                         (10.176)

 

                                       .                         (10.177)

 

 

 

Usando essa notação em (10.170) e (10.171) e inserindo o resultado (10.163), fornece

 

            .  (10.178)






Com base em (10.174)– (10.177), (10.178) assume a forma

 

.




 

Rearranjando os termos desta última expressão, tem-se

 

                          .            (10.179)



 

Finalmente, utilizando (10.140) e (10.179) em (10.167) fornece

 

 

            ,            (10.180)




 

em que os índices m e n são restritos à condição (10.131) para os modos TEmn, i.e.,

 

                                                     


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---

Exemplo 10.3 – Obtenha a dependência com a freqüência da constante de atenuação para o modo TEm0 em um guia sem preenchimento, i.e., tendo .

 

            Fazendo n = 0 tem-se e de (10.180),

 

                                      .



Dado que , e utilizando as relações (10.13), (10.108), (8.157) e (8.159), tem-se

 

                                                      ,

 

                                                       ,

 

                                                              ,

 

e portanto

 

                   .



 

Utilizando a relação  obtém-se finalmente

 

             

 

 

---

           

 

 

 C. Constante de atenuação para modos TM

 

Para o caso de modos TM, tem-se Hz = 0 e as funções f e g em (10.164) e (10.165) ficam reduzidas as formas

                                                          ,

 

                                                           .

 

Com base em (10.156) tem-se

 

                                           ,                              (10.181)

 

 

                                           .                             (10.182)



 

Inserindo (10.181) e (10.182) em (10.163) e utilizando as definições (10.172) e (10.173) tem-se

 

            ,

 

e com base nas relações de ortogonalidade (10.174) e (10.175) obtém-se

 

                                       ,                         (10.183)



em que deve-se observar que para modos TM, .  Utilizando (10.158) e (10.183) em (10.169) fornece o resultado para a atenuação do modo TM, i.e.,

 

                                         .                           (10.184)



 

---

Exemplo 10.4: Considere que em um guia de ondas dois modos mn e  sejam excitados. Se a potência ativa de entrada é, qual é a constante de atenuação associada à potencia ativa total P. Admita válido o regime de pequenas perdas.

 

            Este exemplo pode ser resolvido de duas maneiras. Pode-se por exemplo determinar o campo magnético total em cada parede condutora e utilizar (10.160) para determinar a queda de potência em um comprimento diferencial  e a partir daí relacionar o resultado com a potência de entrada, levando em conta que a potência ativa transportada pelo guia, no regime de pequenas perdas, é a soma das potências transportadas pelos modos. Uma segunda forma, mais simples, é utilizar essa condição o que implica, em um ponto de coordenada z,

 

                                                       ,


o que permite escrever

 

                                                           .

 

Tendo em vista a expressão (10.167), o segundo membro dessa expressão pode ser posto na forma

 

                                                

 

Definindo a constante de atenuação da potência total pela relação

 

                                                                 ,


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as duas últimas relações fornecem

 

                                                     

 

A última expressão mostra que a constante de atenuação para dois modos coexistentes é a média ponderada das constantes de atenuação, tendo como peso as frações de potência distribuídas entre os dois modos.

---

 

 

 

 

10.4 Características dos modos em um guia de onda retangular

 

10.4.1 Densidade de potência

 

            Para se ter uma idéia de como se distribui a potência na seção transversal do guia de onda, basta determinar a densidade de potência associada a um dado modo.  Para esse cálculo, utilizam-se as expressões (10.126) e (10.127) para os campos transversais do modo TE e as expressões (10.155) e (10.156) para os modos TM, e a expressão (10.135) para a componente z do vetor de Poynting, que representa a densidade de potência ativa, no caso de um guia sem perdas. Denotando e as densidades de potência para os modos TE e TM, respectivamente, os resultados obtidos são:

 

Modos TE

                                                (10.185)

 

Modos TM

                                                (10.186)



 

com as funções uv e vu, definidas em (10.110) e (10.111).

 

            A Fig.10.8 mostra a distribuição da densidade de potência na seção transversal do guia para alguns modos de baixa ordem. Regiões escuras correspondem a regiões de baixa densidade de potência, e aquelas mais claras, a regiões de mais alta densidade de potência. Se o campo eletromagnético guiado ocorresse por exemplo na faixa espectral visível, imagens próximas dessas da Fig. 10.8 seriam de fato observadas a olho nu. Modos TEm0 não exibem variação de densidade de potência com a coordenada vertical, como indicam as figuras. Correspondentemente nos modos TE0n não há variação da densidade de potência com a coordenada horizontal. Os modos TM por outro lado, não tendo possibilidade de um índices ser nulo, sempre exibem variação de densidade de potência ao longo das direções horizontal e vertical.

 

 

TE10

TE01

TE20

TE02

TE11

TM11

TE21

TM21

TE22

TM22

Fig.10.8 – Densidade de potência para alguns modos no guia retangular.

 

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10.4.2 Modos como superposição de ondas planas

 

A. Modos TE

 

            Os modos em um guia de onda retangular podem ser decompostos como superposição de ondas planas, com propriedades de propagação bem definidas ao longo do guia. Considere por exemplo a situação para modos TE.  Para simplificar a notação, os subscritos mn serão omitidos das expressões para os campos. O objetivo é expressar os campos já calculados de forma a satisfazer às condições de contorno, como superposição de campos expressos na forma canônica de uma onda plana. Para isso, de (10.125) com a inclusão da dependência em z do campo, incorporando o número imaginário j na amplitude E, e utilizando (10.22), tem-se

 

                                                ,                                   (10.187)

 

em que Z representa a impedância de onda no meio, com

 

 

                                                                  ,                                                    (10.188)

 

                                                                  ,                                                    (10.189)

 

                                                         ,                                            (10.190)

 

representando o número de onda de corte do modo mn e

 

                                                           ,                                             (10.191)    

 

a constante de propagação, conforme (10.13).

 

Com base na relação

 

                                                            ,

 

a expressão (10.187) pode ser escrita na forma

 

                                                                                            (10.192)

 

com

 

                                                              ,                                                (10.193)



em que

 

                                                                                          (10.194)

 

representa a componente do vetor de onda no plano xy, com

 

                                                          


representando o vetor posição. Note que

                                                                                                                       (10.195)

 

            O campo magnético transversal obtido de (10.20),

 

                                                            


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pode ser calculado diretamente com o emprego da propriedade

 


                                                   ,

 

que fornece

 

                                          ,


 

ou equivalentemente

 

                                                ,                                  (10.196)

 

em que

 

                                                                  ,                                                    (10.197)

 

é o vetor unitário no sentido do vetor de onda transversal .

 

            O vetor campo elétrico , que para o modo TE está contido no plano transversal, e pode ser obtido com o emprego de (10.21),

 

                                                .


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Inserindo (10.196) nessa expressão, fornece

 

                                                  .                                   (10.198)

 

            Definindo

 

                                                             ,                                               (10.199)

 

a expressão (10.198) pode ser posta na forma

 

 

                                                     .                                      (10.200)



 

            É importante observar de (10.199) que

 

                ,

 

em que foi utilizada a propriedade cíclica do produto misto dada por (1.39). Essa expressão mostra que o vetor campo elétrico é ortogonal ao vetor de onda que aparece em (10.200).  Portanto. (10.200) é a superposição de quatro termos, cada um correspondendo à forma canônica do campo elétrico de uma onda plana. 

 

            Resta obter o vetor campo magnético como superposição de quatro componentes, cada uma também expressa na forma canônica de uma plana. Para isso, utiliza-se o princípio da superposição e (7.225) para cada termo da soma em (10.200), o que fornece

 

                                                ,                                  (10.201)

 

em que

 

                                                        ,                                          (10.202)

 

é o vetor unitário que define a direção e sentido do vetor de onda de cada componente da soma em (10.201).

 

            Em resumo, cada modo guiado TE no guia retangular é a superposição da quatro ondas planas cujos campos e parâmetros são:

 

                                                     .                                      (10.200)

                                                ,                                  (10.201)

 

                                                             ,                                               (10.199)

 

                                                        ,                                          (10.202)

 

                                                              ,                                                (10.193)

 

                                                   ,                                    (10.194)

 

com a restrição

 

                                                              ,                                                    (10.188)

 

                                                                  ,                                                    (10.189)

 

com m e n inteiros satisfazendo a .

 
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            De acordo com essas expressões, o modo guiado pode ser visualizado como a superposição de ondas planas que refletem em cada parede condutora.  As componentes do vetor de onda assumem apenas valores discretos para que as condições de contorno sejam satisfeitas. Uma dada componente de onda plana se propaga com ângulo de desvio em relação ao eixo z, que pode ser obtido da relação

 

                                                               ,                                                 (10.203)

 

ou equivalentemente, com base em (10.188), (10.289) e (10.194)

 

                                             .                               (10.204)

 

 

            A Fig.10.10 mostra a disposição dos vetores de onda e  projetados no plano xy.  A magnitude do ângulo  entre cada vetor de onda e o eixo x é obtida de

 

 

                                                                .                                                  (10.205)



            Para cada vetor de onda, está também representada a orientação do vetor campo elétrico, conforme previsto por (10.199).  Note que o vetor campo magnético, ortogonal ao vetor campo elétrico, não é ortogonal à componente do vetor de onda no plano xy.  Uma propriedade importante dos modos guiados é que o perímetro de um raio fictício refletindo nas paredes, com azimute dado por (10.205) sempre forma um losango de perímetro constante. Na Fig.10.10, essa propriedade está ilustrada para o caso m = n =1.

 

Fig.10.10 – Projeções dos vetores de onda representativos dos modos TE em um guia retangular.



 

B. Modos TM

           

            Para modos TM, a solução (10.149) para o campo longitudinal pode ser escrita na forma

 

                                                ,                                  (10.206)



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com o vetor de onda no expoente de (10.206) dado por (10.193).  O campo elétrico transversal é obtido de (10.25), ou seja

 

                                          ,


 

e seguindo o mesmo cálculo desenvolvido na seção anterior essa expressão assume a forma

 

                                           .                             (10.207)



Alternativamente, essa expressão pode ser posta na forma

 

                                           .                              (10.208)



 

Utilizando (10.206) e (10.208) permite expressar o vetor campo elétrico do modo guiado na forma

                                                     ,                                        (10.209) 
  

 

com

 

                                                  .                                    (10.210)

 

Nota-se, de (10.210), que o vetor campo elétrico, não é ortogonal à componente do vetor de onda no plano xy. O vetor campo magnético, por outro lado, que está no plano xy é ortogonal a essa componente do vetor de onda, e pode ser obtido de (10.26), i.e.,

                                                             .



Inserindo (10.208) nessa expressão fornece

 

                                    .                      (10.211)



 

            Para uma melhor interpretação de (20.211), com base em (10.202) e (10.210), pode-se mostrar que

 

                                               .                                 (10.212)

 

Inserindo (10.212) em (10.211) fornece

 

                                           ,                             (10.213)



 

que, com base em (10.27), reduz-se à forma

 

                                                .                                  (10.214)



 

Essa expressão é idêntica à expressão (10.201) que representa a superposição de quatro termos, de igual peso, cada um na forma canônica de uma onda plana.

            A Fig.10.11 mostra a disposição dos vetores de onda e campo magnético no plano xy, para o caso do modo TM­11.  Note que no caso presente, o vetor campo magnético total tem componente normal nula em cada parede. O sentido da componente z do campo elétrico total também está ilustrada na figura, e também tem componente nula em cada parede, conforme previsto por (10.206).

 

 

Fig.10.11– Projeções dos vetores representativos dos modos TM em um guia retangular.

 

 

10.4.3 Modo fundamental no guia de onda retangular

 

            Guias de onda são tipicamente construídos com .  Nesse caso, assumindo que o guia de onda não tenha preenchimento, de (10.103) as freqüências de corte são dadas por

 

                                                    .                                      (10.215)

 

            De (10.215), o modo de mais baixa ordem é obtido com m = 1 e n =0. Este é o modo fundamental TE10, com freqüência de corte dada por

 

                                                                    .                                                     (10.216)

 

A próxima freqüência de corte é aquela dos modos TE­20 e TE01, ambas iguais a

 

                                                                .                                                  (10.217)



A próxima freqüência de corte é aquela dos modos TE11 e TM11, dada por

 

 

                                                                 ,                                                   (10.218)



e assim sucessivamente.

 

            Dessas expressões para as várias freqüências de corre, a operação monomodo para o guia retangular com a=2b ocorre na faixa de uma oitava de freqüências,

 

                                                                 .                                                   (10.219)

 

A faixa de comprimentos de onda no vácuo, para operação monomodo, obtida de (10.219) é

 

                                                                 .                                                   (10.220)

 

            Nas várias aplicações de guias de ondas é importante que a faixa de freqüências de operação seja aquela em que apenas o modo fundamental se propaga. Isso porquê, um único modo tem uma distribuição transversal de campo bem definida, permitindo assim que todos os dispositivos em guias de onda possam ser fabricados com geometrias bem definidas.  Por exemplo, examinando com mais detalhe o campo elétrico transversal do modo fundamental, obtido de (10.121) com m = 1, n = 0,

 

                                                                                                      (10.221)

 

tem-se um valor máximo em x = a/2 . Além disso, o vetor campo elétrico transversal é paralelo ao eixo y.  Assim, a excitação mais eficiente de um guia de onda operando no modo TE10 seria feita com uma sonda que penetra no guia, posicionada em x = a/2, e dirigida ao longo do eixo y.  O adaptador coaxial para guia de ondas, mostrado na Fig.10.12 é fabricado com esse posicionamento de sonda.  Pelo princípio da reciprocidade, a detecção do campo transmitido pelo guia em um ponto remoto também seria feita com uma sonda com posicionamento semelhante.  Além desse exemplo simples, inúmeros dispositivos têm de ser projetados conhecendo-se especificamente a configuração do modo de propagação ao longo do guia, e a operação monomodo permite simplificar a geometria dos dispositivos.

2_45GHz_Waveguide_Coaxial_Adaptor.jpg

Fig.10.12 Adaptador cabo coaxial/guia de onda, mostrando o posicionamento da sonda para acoplamento com o modo fundamental.


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            A Tabela 10.1 lista as características principais dos campos e parâmetros associados ao modo fundamental TE10, calculados com base na formulação desenvolvida neste capítulo.

 

Tabela 10.1 –Parâmetros do modo fundamental TE10 para o guia de ondas com a = 2b.

Grandeza

Expressão


Freqüência de corte




Faixa de operação monomodo




Número de onda de corte





Impedância de onda





Constante de propagação





Comprimento de onda no guia




Campo elétrico





Campo magnético





Densidade de potência ( f  > f10 )





Potência ativa






Constante de atenuação de amplitude






 

 

            A Fig.10.13 mostra a dependência com a freqüência da constante de atenuação para o modo TE10, na faixa de operação monomodo. Como pode ser aí observado, a atenuação diminui à medida que a freqüência aumenta. Esse seria o comportamento esperado analisando-se a propagação do modo guiado como superposição de ondas planas. À medida que a freqüência diminui, amenta o número de reflexões de ondas planas nas paredes condutoras, uma vez que o ângulo obtido de (10.203) tenda a  para freqüências próximas à freqüência de corte.  Operação em uma faixa de freqüências longe de freqüência de corte é indicado no uso de guias de onda em situações em que perdas por condução tenham de ser minimizadas.  

 

 

 

 

 

 

 

Fig.10.13 – Dependência com a freqüência normalizada da constante de atenuação para o modo TE10.

 

10.4.4 Dispersão de guia de onda, velocidade de fase e velocidade de grupo

 

            A propagação eletromagnética em guias de onda, diferentemente da situação observada em linhas de transmissão, que admitem modos de propagação TEM, tem uma característica interessante que é a presença de um efeito de dispersão associado à geometria da estrutura. O fato de os campos guiados terem de se ajustar às condições de contorno nas paredes metálicas, ou, no caso de guias dielétricos, nas interfaces entre dielétricos distintos, faz surgir esse efeito dispersivo. Essencialmente, a imposição de restrições nas interfaces ou paredes metálicas faz com que a velocidade de fase passe a depender da freqüência. O grau de dependência é função da geometria da estrutura. Esse tipo de dispersão é denominado de dispersão de guia de onda. O tipo de dispersão presente em meios materiais, por outro lado é denominado de dispersão material.

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            Independentemente do tipo de perfil transversal da estrutura, o que é obtido ao se considerar a presença de um dos modos de propagação é uma relação entre constante de propagação, número de onda de corte e número de onda no meio de preenchimento.  Essa relação é dada por (10.13), re-escrita na forma

 

                                                                 .                                                   (10.222)

Em (10.222), o número de onda de corte, como demonstrado por exemplo para o guia de onda retangular, depende apenas dos parâmetros geométricos transversais da estrutura guiante. Assumindo, por exemplo, que o guia não tenha preenchimento, tem-se

 

                                                                      ,



e utilizando a definição de freqüência angular de corte (10.38), (10.222) pode ser posta na forma

 

                                                                                                              (10.223)

 

            A expressão (10.223) que expressa a dependência da freqüência com a constante de propagação é essencialmente a relação de dispersão de guia de onda da estrutura. Se a estrutura fosse uma linha de transmissão, cujo modo de propagação TEM tem freqüência de corte nula, então (10.223) seria da forma

 

                                                                                                                           (10.224)

que é uma relação linear. Isso implica que independentemente da freqüência, a velocidade de fase é simplesmente

 

                                                                      .                                                     (10.225)



            O fato de guias de onda suportarem modos com freqüência de corte não nula torna a relação de dispersão de cada modo não linear, conforme previsto por (10.223). Isso em essência torna a velocidade de fase dependente da freqüência. De acordo com a discussão do Capítulo 7, uma dependência em freqüência da velocidade de fase, tem como conseqüência distorção ou dispersão de qualquer sinal enviado pela estrutura.

 

            A Fig.10.14 mostra o diagrama de dispersão de um dado modo propagante em um guia de onda, que é a representação gráfica de (10.223). Note que (10.223) exibe as seguintes propriedades, ilustradas na Fig.10.14:

 

·           .

·           , ou seja a assíntota à curva de dispersão é a relação de dispersão linear no vácuo.

 

A velocidade de fase é dada por

 

                                                                     ,                                                     (10.226)

 

e com o uso de (10.223) essa relação pode ser posta como função da constante de propagação na forma

 

                                                            .                                              (10.227)



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Alternativamente, a constante de propagação pode ser expressa em função da freqüência em (10.223), o que fornece

 

                                                           .                                             (10.228)



 

            A velocidade de grupo, por outro lado, definida em (7.264), i.e.,

 

                                                                    ,                                                    (10.229)

 

calculada com o emprego de (10.223) é dada por

 

                                                            .                                              (10.230)




 

Em função da freqüência, utiliza-se (10.222), o que fornece

 

                                                                                                       (10.231)

 

            Vale observar que (10.228) e (10.231) fornecem a relação

 

                                                                   ,                                                    (10.232)


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ou seja, a velocidade da luz no meio (vácuo no caso) é média geometria entre as velocidades de fase e de grupo.

 

            A Fig.10.14 ilustra graficamente a diferença entre velocidade de fase e de grupo. A declividade da linha reta, que representa o diagrama de dispersão de ondas eletromagnéticas no vácuo, fornece a velocidade da luz. A velocidade de fase no guia de ondas é a declividade do segmento de reta mostrado na figura, que é maior do que a velocidade da luz. A declividade do segmento de reta tangente à curva é a velocidade de grupo, que é menor do que a velocidade da luz. 

 

            Conforme discutido no Capítulo 7, a velocidade de grupo representa a velocidade do transporte de informação e por isso, é inferior à velocidade da luz no meio. Por outro lado a velocidade de fase, representa a velocidade que um observador teria de se mover para registrar a mesma fase da onda propagante. Uma vez que o modo guiado pode ser representado como superposição de ondas planas, cada uma se propagando com a velocidade da luz no meio e com um certo ângulo de desvio em relação ao eixo longitudinal, a velocidade de fase no guia seria aquela em que um observador deveria se mover ao longo do eixo z para registrar a mesma fase da frente de onda, Conforme ilustrado na Fig.10.15, o plano de fase constante de uma dada onda plana, requer que o observador tenha de se deslocar ao longo de um comprimento  no mesmo intervalo de tempo que um outro observador fictício deveria se deslocar de uma distância  ao longo do sentido do vetor de onda, este ortogonal ao plano de fase constante. Por isso a velocidade de fase no guia é sempre maior do que a velocidade da luz no meio.

 

 

Fig.10.14 – Diagrama de dispersão em um guia de ondas.

 

Fig.10.15 Ilustração do processo de determinação da velocidade de fase no guia de ondas.

­

 

 

 

 

Problemas

 

10.1 Faça todas as passagens que levam a (10.18) e (10.19).

10.2 Faça as passagens que levam a (10.21), (10.23) e (10.24), (10.31) e (10.33).

10.3 Admita que um guia de ondas do tipo metálico, sem preenchimento, esteja operando no regime monomodo.  Independentemente do formato de sua seção transversal, para uma freqüência de operação uma oitava acima de sua freqüência de corte do modo, determine:

a) O comprimento de onda do modo guiado em relação ao valor do vácuo.

b) A impedância de onda em ohms, admitindo que o modo guiado seja um modo TE.

c) A impedância de onda em ohms, admitindo que o modo guiado seja um modo TM.

10.4 Seguindo um procedimento semelhante àquele utilizado no Exemplo 10.1, obtenha a solução para modos TM em uma linha de transmissão de placas paralelas e determine os parâmetros representativos dos modos no guia, incluindo, número de onda de corte, freqüência de corte, impedância do modo e potência.

10.5 Para os modos TE e TM do guia de placas paralelas, obtidos no Exemplo 10.1 e na Questão 10.4,  deduza as expressões para a constante de atenuação do guia.

10.6 Determine a relação de dispersão para o guia de placas paralelas para os modos TE e TMn.

10.7 Com base no que foi obtido na Questão 10.6 determine as expressões para as velocidades de fase e de grupo.

10.8 Admita que um pulso eletromagnético seja injetado em um guia de ondas de placas paralelas em z = 0.  Admita que esse pulso seja conduzido ao longo do guia na forma do modo fundamental TE1.  Se o guia tem um comprimento L, qual o tempo de propagação do pulso no guia? Admita que o pulso tenha um espectro de freqüências estreito em relação à freqüência da portadora f.

10.9 Estabeleça as relações de ortogonalidade entre campos elétricos transversais  para modos TEM, TE e TM em um guia de placas paralelas do tipo tratado no Exemplo 10.1. Ou seja, determine expressões para

                                                 



em que m =0 corresponde ao modo TEM.

10.10 Qual o ângulo de desvio em relação ao eixo z de cada onda plana representativa do modo TE1 se propagando em um guia de placas paralelas para ?

10.11 Determine a expressão geral da constante de atenuação  para o modo TEmn ou TMmn,  de um guia retangular devido às perdas materiais. Admita para isso que o guia de onda é preenchido com um material de índice de refração complexo

 

                                                               

 

 

10.12 Para o modo  ou , determine a expressão geral para o ângulo de desvio do vetor de onda de uma das ondas planas representativas do modo guiado, em relação ao eixo z.

10.13 Considere um guia retangular, sem preenchimento, tendo paredes de cobre com . Admita que a permeabilidade do cobre seja igual à do vácuo e utilize o valor da condutividade dc tabulada na literatura. Determine:

a) A freqüência de corte.

b) A constante de atenuação para .

c) A velocidade de fase para

d) A velocidade de grupo para .

e) O comprimento de onda no guia para

f) O ângulo de desvio de uma das ondas planas representativas do modo guiado em relação ao eixo longitudinal

10.14 Para o modo TE10 determine a densidade de corrente superficial nas quatro paredes internas.

10.15 Para o modo TE10 determine, em z =0:

a) A corrente elétrica que atravessa um segmento de largura a paralelo ao eixo x de cada parede horizontal. Indique o sentido da corrente em cada caso.

b) A corrente elétrica que atravessa um segmento de altura b paralelo ao eixo y de cada parede vertical. Indique o sentido da corrente em cada caso.

10.16 Projete um guia de ondas retangular com a=2b para operação monomodo em:

a) Uma faixa de freqüências de 6 a 12 GHz. 

b) Uma faixa de freqüências de 100 a 200 GHz

10.17 Faça uma pesquisa e obtenha especificações (dimensões, material utilizado, etc.) de guias de onda metálicos retangulares disponíveis comercialmente.

a) Há fabricantes no Brasil? Quais?

b) Quais os mais importantes fabricantes no Exterior e respectivos países de origem?

b) Para um guia de onda comercial operando na banda X de microondas, qual é a constante de atenuação especificada pelo fabricante em ?

c) Utilize a formulação desenvolvida no texto para calcular a constante de atenuação para esse guia e compare com o resultado especificado pelo fabricante.

10.18 Admita que um guia de onda de largura a e altura b seja “iluminado” com uma onda plana, conforme ilustrado na figura. Admita que o meio exterior seja o vácuo. A potência total na entrada do guia é dada por

 

                                                                 .


Admita que o vetor campo elétrico no guia de ondas seja dado por

 

                                                                   ,

ou equivalentemente

                                                               .

 

Utilize as propriedades de ortogonalidade dos modos para determinar:

a) As amplitudes dos modos  e na entrada do guia

b) Os vetores  e na entrada do guia

c) A transmitância da estrutura admitindo que apenas o modo fundamental se propague, i.e., a potência guiada pelo modo fundamental relativamente ao valor P0.

 

 

 



[1] Por modo guiado, entende-se aquele em que os campos eletromagnéticos estejam confinados a uma região de dimensão finita, em torno do eixo longitudinal central da estrutura.

[2] Vários tipos de guias de onda e dispositivos de guias de onda podem ser visualizados em http://goo.gl/dwSm7

[3] O subscrito m utilizado nos Capítulos 8 e 9 está substituído pela palavra metal no presente capítulo, em vista da utilização do parâmetro m como índice de modo de propagação no presente capítulo